円に関する反転
円に関する反転は、初等幾何的概念ということになっているが、初等教育では教えられていないので、その概要について説明する。
１．円に関する反転とは
「円に関する反転」あるいは略して「反転」とは、平面上の点から点への写像で、下図に示すものである。
このとき、「点Ｐの、円Ｏに関する反転は、点Ｐ’である」などと言う。
また、点集合である図形Σの点の円Ｏに関する反転の集合を、図形Σの円Ｏに関する反転という。
まぎれることが無い場合は、これらの「円Ｏに関する」を、省略する。
点Ｏの、円Ｏに関する反転は、この定義方法では決められない。このことをもって、「円の中心の反転は決められない」とする流儀と、「円の中心の反転は、“無限遠点”と名づけるべき、世界にたった一つの点である」とする流儀がある。
２．「広義の円」について
円に関する反転に関連する概念の一つである、「広義の円」と関連する諸概念について述べる。
☆ 定義
円あるいは直線のことを、「広義の円」あるいは略して「円」と言う。
単に「円」と言うと混乱を招く可能性があるので、通常の円のことを、「狭義の円」と言うことがある。
上記の「“無限遠点”と名づけるべき、世界にたった一つの点」を考える流儀では、直線は、無限遠点を通る円であると考える。
直線も“円”であるとしてしまうので、直線に関する反転も考えなくてはならない。
☆ 定義
直線に関する反転は、この直線に関する対称変換である。
この定義は狭義の円に関する反転と整合性を持つことが、容易に分かる。
（この「容易に分かる」は、「証明するのは煩わしいので証明をサボる」という意味の数学者用語である。必ずしも容易ではない）
円と直線を一緒くたにしてしまうので、直線に関する概念である「角」についても定義する。
☆ 定義
２つの円が２点を共有するとき、その交角（あるいはなす角）とは、その交点の一つにおける接線の交角のことである。
２つの円の交角が直角のとき、これらの円は直交すると言う。
この定義では、狭義の円と狭義の円の交角のみならず、狭義の円と直線との交角についても述べている。
より広い定義として、「交点で接線を考えることのできる２曲線の交角とは、交点における接線の交角のことである」がある。
３．円に関する反転の諸事項
反転の諸事項について、証明無しに述べる。
① 点Ｐの、円Ｏに関する反転が点Ｐ’であるとき、点Ｐ’の、円Ｏに関する反転は、点Ｐである
② 円Ｐの、円Ｏに関する反転は、円あるいは直線である。
円Ｐが、円Ｏの中心Ｏを通るときは直線となり、通らないときは円となる。
③ 直線ｌの、円Ｏに関する反転は、円Ｏの中心Ｏを通る円である。
これら②と③を、「広義の円の、狭義の円Ｏに関する反転は、広義の円である。」とまとめることができる。
さらに、直線に関する反転、すなわち対象変換では図形の形は変わらないので、「広義の円の、広義の円に関する反転は、広義の円である。」と言える。
このことを、「反転は、円―円対応である」、「反転は、共形変換である」などと言う。「共形」とは、変換前と変換後が共に円という、同じ形であるという意味である。
④ ２つの円（一般的には２つの曲線）の交角の反転像は、同じ大きさの角である。特に、直交する２円の反転像は、直交する。
このことを、「反転は、等角写像である」などと言う。
⑤ 点Ｐの、円Ｏに関する反転が点Ｐ’であるとき、円Ｏの、点ＰＰ’を通る任意の円に関する反転は、円Ｏ自身である。
⑥ 点Ｐの、円Ｏに関する反転が点Ｐ’であるとき、点ＰＰ’を通る任意の円は、円Ｏと直交する。
４．「無限遠点」の一意性について
「無限遠点」と呼ばれる概念は、幾何学の他の分野にもあり、中には複数の無限遠点が存在するものもある。たとえば射影幾何学で「無限遠点」あるいは「消失点」と呼ばれる点は、複数存在する。しかし、ここでの無限遠点は、世界に一つだけと考える。言い換えると、この世界では、「無限遠点」という言葉は、普通名詞ではなく、固有名詞である。
このことは、概念を３次元以上の高次元に拡張しても、同様である。
５．三次元での関連事項―立体射影について
立体射影は、球面から１点を取り除いたものと平面との一対一対応の一つであり、以下のように定義する。
☆ 定義
球面Σと平面Πがあるとき、球面Σから平面Πへの立体射影、および平面Πから球面Σへの立体射影。
まず、球面Σの中心を通る、平面Πへの垂線を引く。
これと球面Σとの交点で、平面Π上の点でないものの１つをＮとする。このＮを立体射影の極と言う。
球面ΣのＮ以外の点Ｐについて、直線ＮＰと平面Πとの交点Ｐ’を、球面Σから平面Πへの立体射影で点Ｐに対応する点とする。
球面Σから平面Πへの立体射影の逆写像を、平面Πから球面Σへの立体射影と言う。
この定義では、点Ｎは仲間はずれであるが、無限遠点を考える流儀では、点Ｎに対応する点は無限遠点であるとする。無限遠点は、世界にたった一つであるので、このようにしても一対一対応となっている。
球面ΣにおけるＮの対蹠点をＳとする。極Ｎが一意でないとき、すなわち球面Σと平面Πが交わるか離れているとき、点Ｓも、平面Πから球面Σへの立体射影の極となり得る。
そこで、点Ｓを極とする平面Πから球面Σへの立体射影を行い、引き続き球面Σから平面Πへの立体射影を極をＮとして行うことにより、平面Π上の写像が得られる。この写像は、球面Σと平面Πが交わるときは、球面Σと平面Πが交わりの円に関する反転となる。球面Σと平面Πが離れているときは、反転ではなくたがいに直交する３円に関する反転３つを合成したものになる。
立体射影は、円―円対応であり、等角写像である。平面上の直線には球面上の極を通る円が、平面上の狭義の円には球面上の極を通らない円が対応する。
６．三次元での球、円、点対に関する反転
☆ 定義
球または平面のことを、「広義の球」あるいは略して「球」と言う。平面でない球を、「狭義の球」と言う。
点対または点のことを、「広義の点対」あるいは略して「点対」と言う。一点でない点対を、「狭義の点対」と言う。
☆ 定義
狭義の球に関する反転を、狭義の円に関する反転に準じて定義する。このとき、「円」は「球」に読み替える。
広義の球に関する反転も、広義の円に関する反転に準じて定義する。このとき、「円」は「球」に、「直線」は「平面」に読み替える。
球と円の交角、球と球の交角を、円と円の交角に準じて定義する。このとき、「円」、「直線」は、適宜「球」、「平面」に読み替える。
☆ 定義
空間における円に関する反転を、この円を交わりとする、たがいに直交する２球に関する反転の合成により定義する。
このとき、２球の選び方および合成の順序の違いによらず、一意に確定する。
空間における点対の関する反転を、この点対を交わりとする、たがいに直交する３球に関する反転の合成により定義する。
このとき、３球の選び方および合成の順序の違いによらず、一意に確定する。