高次元単体の諸心

三角形には、５心と呼ばれるものがある。

外心、内心、傍心、重心、垂心である。

これらを、３次元や、より高次元の「三角形のなかま」について拡張するとどうなるべきかについて、特に垂心について、つらつらと考えたことを記録する。

まず、高次元の「三角形のなかま」についての定義。

定義：単体

ｎ≧（－１）のとき、ｎ次元以上のユークリッド空間において、同一の（ｎ－１）次元ユークリッド空間には属さない（ｎ＋１）個の点があるとき、これらの点は、ｎ次元単体（ｎ－単体、あるいはｎ次元超三角錐）を決定するという。ｎ次元単体のことを単に、「単体」、「超三角錐」などとも呼ぶ。

この（ｎ＋１）個の点のことを、このｎ次元単体の頂点という。

（－１）次元単体は、空集合のことである。（－２）次元ユークリッド空間の概念は無いが、そう考えることにする。

０次元単体は、混同の恐れが無いとき、単に「点」と呼ぶ。また、その頂点を「点自身」などということがある。

１次元単体は「線分」、２次元単体は「三角形」、３次元単体は「三角錐」あるいは「四面体」である。

ｍ＜ｎで、同一のｍ次元ユークリッド空間に属す（ｎ＋１）個の点があるとき、これらの点は、ｍ次元以下に退化したｎ次元単体と呼ぶことがある。ｍ次元以下に退化したｎ次元単体のことを単に、「ｍ次元に退化したｎ次元単体」、「退化したｎ次元単体」、「退化した単体」などとも呼ぶ。

ｎ次元単体と退化したｎ次元単体を合わせて、「広義のｎ次元単体」あるいは「広義の単体」という。混同の恐れがないときは、単に「ｎ次元単体」、「ｎ－単体」、「単体」などともいう。

ｎ次元単体が、退化したｎ次元単体でないことを明示するときは、「狭義のｎ次元単体」とか「固有ｎ次元単体」などということがある。

固有ｎ次元単体の、すべての頂点を含む半空間すべての共通部分を、このｎ次元単体に対応する閉単体という。混同の恐れがないときは、単に「ｎ次元単体」、「ｎ－単体」、「単体」などともいう。

蛇足：「混同の恐れが無いとき」

これは変な用語である。

普通の日本語では、「誤って混同してしまうことが無いとき」という意味であろう。

しかし、数学の本などでは、かなり違う意味のような気がする。「誤って混同してしまっても話が通じてしまうとき」というような意味にも思える。あるいは、「わざと積極的に混同することにする」というようにも読み取れることが多い。

もちろん、本来の意味にしか読み取れないこともあるが。

定義：単体の部分単体、面

ｎ次元単体の頂点のうちの、（ｐ＋１）個で決まるｐ次元単体を、もとのｎ次元単体のｐ次元部分単体、あるいは単に部分単体という。

特に、０≦ｐ＜ｎのとき、ｎ次元単体のｐ次元部分単体を、ｎ次元単体のｐ次元面、あるいは単に面という。

混同の恐れが無いときは、ｐ次元面を含む最小のｐ次元ユークリッド空間のことも、もとのｎ次元単体のｐ次元面という。

混同の恐れが無いときは、０次元面を「頂点」と呼ぶ。

１次元面は「辺」と呼ぶ。

混同の恐れが無いときは、２次元面を「面」と呼ぶ。

混同の恐れが無いときは、ｎ次元単体の（ｎ－１）次元面を「面」と呼ぶ。

ｎ次元単体のある部分単体に対し、その部分単体に含まれないすべての頂点によって決まる単体を、その部分単体の相補的な部分単体、相補的な面、あるいは対面という。

対面が１次元のときは、「対辺」ということがある。

蛇足：「対面」

上記の「対面」という用語は、「たいめん」と読むが、最初の「た」のところにアクセントを置くのだと思う。人と人とが顔をあわせる「対面」とはアクセントが異なる。「といめん」と読む人もいるとかいないとか。

「対辺」ということばの、「辺」の次元を上げて「面」にしてできたことばと思われる。

蛇足：「辺」と「稜」

３次元以上の単体について、１次元面を「稜」と呼ぶ人がいる。しかし、圧倒的多数の人は「辺」と呼んでいるし、確か文部省の決めた何かで、「辺」に統一することになっているはずなので、「稜」は、用いないことにする。

球面は「三角形のなかま」ではないが、関連するので。

定義：球面

ｎ次元ユークリッド空間において、ある１点から等距離にある点の軌跡を、（ｎ－１）次元球面、あるいは単に球面という。

この１点をこの球面の中心、この距離をこの球面の半径という。

０次元球面は、点対である。

１次元球面は、円である。

球面の半径が０のとき、この球面を点球と呼ぶことがある。

定理：球面の性質

点球でない２つの（ｎ－１）次元球面は、たがいに相似である。

特に、これらが同一のｎ次元ユークリッド空間にあるときは、かならず、相似の位置にある。

証明：

明らか。

■

いよいよ５心の定義。

定義：外心

ｎ次元単体の、すべての頂点を通る（ｎ－１）次元球面を、この単体の外接球面、あるいは外接球という。

外接球面の中心を、この単体の外心という。

点の外心は、その点自身である。

線分の外心は、その中点である。

定理：外心の性質

固有ｎ次元単体の外心は、必ずただ１つ存在する。

単体の外心から、その単体の面へ下ろした垂線の足は、その面の外心である。逆に、単体の外心と、面の外心とを結ぶ直線は、その面と垂直である。

証明：

明らか。

■

定義：内心と傍心

ｎ次元単体の、すべての（ｎ－１）次元面と接する（１点のみを共有する）球面のうち、接点がすべてその面の内部のものを、この単体の内接球面、あるいは内接球という。

内接球面の中心を、この単体の内心という。

線分の内心は、その中点である。

ｎ次元単体の、すべての（ｎ－１）次元面と接する（１点のみを共有する）球面のうち、接点の１つだけがその面の内部のものを、この単体の傍接球面、あるいは傍接球という。接点がその面の内部であるものが、必ずしも１つだけではないものは、広義の傍接球面という。

傍接球面の中心を、この単体の傍心という。

線分の傍心は、存在しない。

☆ここで、「内部」ということばを、定義無しに使ってしまった。定義しようとすると意外にややこしい。「単体の『内部』とは、その頂点の一つ以上を内部に持ち、他のすべての頂点を境界上に持つような開半空間すべての共通部分をいう。」とすれば良いと思う。

☆「傍心」の定義はこれでよいのか、自信は無い。しかし、多分大丈夫。

☆「傍接球面」の定義として、「ｎ次元単体の、すべての（ｎ－１）次元面と接する（１点のみを共有する）球面」とし、「接点の１つだけがその面の内部」という条件をつけない人は、いる（http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/18.htmlなど。この人は、「面からの距離が全て等しくなる点」としている）。

☆「すべての（ｎ－１）次元面と接する（ｎ－１）次元球面」は、ｎ＞１のとき、２のｎ乗だけある。しかし、ｎ＝１のときは、１つしかない。不思議だ。

☆内心および外心の概念を拡張して、「面心」というのがあるそうである（http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/25.html）。３次元単体の１次元面心については、少し考えたことがあるが、４次元以上で面白そうな結果が得られるような気がしなかったので、それ以上追求していない。

以前、ここに「３次元単体の２次元面心については、少し考えたことがある」と書いていたが、それは誤記です。お詫びして訂正します。

なお、この「お詫びして訂正」の後、何箇所かに類似の誤記が発見されたが、こっそり訂正した。さらに、正にこの段落にも、脱字があったので直した。まだ誤字・脱字等が、あるかもしれない。

なお、その後、｢『すべての』である必要は無いのでは？｣とも考え、「ある１頂点を含むｐ次元面とこの頂点の対面」なども考えたりしたが、やはりそれ以上追求していない。

☆ここでは「線分の傍心は、存在しない。」としたが、「線分の傍心は無限遠点である」とご指摘くださった方がいた。指摘されて考えてみると、それもひとつの考え方（そのように考えることで、理論を発展させられるもの）であることに気付いた。しかし、ここはユークリッド幾何を前提に考えているので、「無限遠点」は存在しないものとしたい。楕円的非ユークリッド幾何（あるいは球面幾何）には、「無限遠点」は存在しないので、線分の傍心はちゃんと存在する（ここに「『無限遠点』は存在しない」と２回書いたが、意味的にはまったく正反対である。前者は「『無限遠点』の概念を定義することはできるが、その点は、理論の対象外の点である」という意味、後者は「『無限遠点』の概念を定義することはできない」という意味である）。傍接球面と傍心に関わる理論は、ユークリッド幾何よりも、楕円的非ユークリッド幾何（あるいは球面幾何）で考えたほうが、きれいな理論になるかもしれない。

定理：内心の性質

固有ｎ次元単体の内心は、必ずただ１つ存在する。

ｎ＞１のとき、ｎ次元単体の傍心は、ちょうど（ｎ＋１）個存在する。

単体の内心あるいは傍心から、その単体の面へ下ろした垂線の長さは、すべて等しく、内接球面あるいは傍接球面の半径と一致する。

証明：

明らか。

■

定義：重心

「帰納的」に定義する。

ｎ＝－１のとき、ｎ次元単体の重心は、不定である。

ｎ≧０のとき、ｎ次元単体の重心は、そのある頂点と、その対面の重心とを、ｎ：１に内分する点である。

点の重心は、その点自身である。

線分の重心は、その「中点」である。

☆以前、「ｎ＝０のとき、ｎ次元単体の重心は、その頂点である。」としていたが、上記のように変えた。

定理：重心の性質

広義のｎ次元単体の重心は、それを定義する頂点によらず、１点に確定する。

ｎ次元単体のすべての頂点を２つに分け、それぞれで決まる単体について重心を求めると、もとの単体の重心は、これらの重心を結ぶ線分を、これらの単体の頂点の数で内分した点となる。

証明：

メネラウスの定理などから、明らか。

■

☆重心は、力学的な点である。力学的には、すべての頂点に同じ質量の質点を置いたとき、その周りのモーメントがゼロになる点である。また、退化しない単体の場合は、その内部（定義してないけど分かってネ）の密度が一様な場合の力学的重心（その周りのモーメントがゼロになる点）でもある。

☆さらに、すべてのｐ次元面が、その面の次元ｐによって決まる質量（ゼロでもよい。数学的にはマイナスでもよい）を持ち、その重心がその力学的重心になるような密度分布を持つときも、ｎ次元単体全体の力学的重心と幾何学的重心とは一致する。

残るは垂心だが、その前に、オイラー線、九点円とそのなかまなどを定義する。

定義：オイラー線

外心と重心が異なるとき、これを結ぶ直線を、オイラー線という。

定義：九点円、面重心球面、副面重心球面、面重心単体

ｎ次元単体の、ｐ次元面の重心すべてを通る（ｎ－１）次元球面を、ｐ次の面重心球面という。

ｎ次元単体の、ｐ次の面重心球面と（ｎ－ｐ－１）次の面重心球面とは、たがいに相補的であるという。

０次の面重心球面は、外接球面である。

（ｎ－１）次の面重心球面は、単に「面重心球面」という。

三角形の面重心球面は、「九点円」である。

ｎ次元単体の、１個以上のｐ次元面の重心を通る（ｎ－１）次元球面があって、これらの重心すべてを通る（ｎ－１）次元球面が他に存在しないとき、この球面を、ｐ次の副面重心球面という。

ｎ次元単体のｐ次の副面重心球面が重心を通るｐ次元面の対面の重心すべてを通る球面を、このｐ次の副面重心球面と相補的な副面重心球面という。

ｎ次元単体の、ｐ次元面の重心のみによって定義される単体を、ｐ次の面重心単体、あるいは単に面重心球面という。

ｎ次元単体の副面重心球面は、ｎ次元・固有・面重心球面の外接球面である。

☆「面重心球面」、「副面重心球面」、「面重心単体」ということばは、たぶん存在しない。存在しても、意味が違うかもしれない。

☆「面重心単体」には、「副」をつけない。また、単に「面重心単体」と言った場合、ｎ次元とは限らない。これは、「副」をつけるのが煩わしいこともあるが、同時に、これらの概念についての私の中での発展がある。その発展の内容については、ここでは述べない。

定理：面重心球面の存在性とオイラー線

ｎ次元単体のｐ次（副）面重心球面が存在するとき、それと相補的な（副）面重心球面は、必ず存在する。

特に、ｎ次元固有単体の（ｎ－１）次の面重心球面（＝外接球面と相補的な面重心球面）は、必ずちょうど１つだけ存在する。

ｎ次元単体の重心は、ｐ次（副）面重心球面と、これと相補的な（副）面重心球面との相似の中心であり、相似比は（ｎ－ｐ）：（ｐ＋１）である。

特に、ｐ＝０のとき、ｎ次元単体の重心は、外接球と面重心球面との相似の中心であり、相似比はｎ：１である。

また、ｎが奇数でｐ＝（ｎ－１）／２のときは、ｐ次面重心球面とその相補的面重心球面とは一致し、その中心は重心と一致する。

外心と重心が異なるとき、面重心球面の中心は、オイラー線上にある。外心と重心が一致するときは、面重心球面の中心は、外心と一致する。

ｎ次元単体のｐ次（副）面重心球面が存在するとき、ｐ≦ｑ≦ｎとなるｑについて、各ｑ次元部分単体に、ｐ次（副）面重心球面が存在する。

証明：

重心の性質などから、明らか。

■

やっと垂心だが、その定義は、次のようにした。

通常の垂心の定義とは、かなり異なるが、３次元以上の高次元に拡張するため、このようにしたい。

定義：垂心

外接球と、面重心球面との相似の中心で、外心から最も遠いものを、広義の垂心、モンジュ点、あるいは単に垂心という。

０次元単体の垂心は、その頂点である。

１次元単体の垂心は、一意的には存在しない。なぜなら、外接球と面重心球面とは一致し、いたるところが「相似の中心」であるから。

垂心の性質の前に、用語をいくつか。

定義：直交補空間

１つのユークリッド空間と１点があるとき、この１点を通り、このユークリッド空間内のすべての直線と垂直になるユークリッド空間すべての和集合を、このユークリッド空間の、この点を通る直交補空間、あるいはこの点を起点とする直交補空間という。

１つの単体と１点があるとき、この単体を含む最小のユークリッド空間の、この点を通る直交補空間を、この単体の、この点を通る直交補空間という。

このユークリッド空間が全空間であるとき、「このユークリッド空間内のすべての直線と垂直になるユークリッド空間」は存在し、この１点（０次元ユークリッド空間）である。したがって、この場合、直交補空間は、この１点である。

このユークリッド空間が０次元の場合は、どのユークリッド空間もこのユークリッド空間内のすべての直線（その総数は０本）と垂直なので、直交補空間は全空間である。

明らかに、あるユークリッド空間内の点集合の、すべての点から等距離にある１点を通る、このユークリッド空間の直交補空間上の点は、この点集合上のすべての点から等距離にある。

あるユークリッド空間の直交補空間上の点を通るこのユークリッド空間の直交補空間は、すべて一致する。

☆当初、「直交補空間」の定義を、「このユークリッド空間内のすべての直線と垂直になる直線すべての和集合」としていた。これだと、このユークリッド空間が全空間であるとき、「このユークリッド空間内のすべての直線と垂直になる直線」は存在しないので、空集合となってしまう。しかし、いろいろと考えてみると、空集合でなく、１点であることにしたほうが美しい。下記「垂軸」と「副垂軸」の定義は、その例である。そこで、このように変えた。

定義：垂軸、副垂心、副垂軸

単体の垂心を通る、この単体の直交補空間を、この単体の垂軸と呼ぶ。

ｎ次元単体の部分単体の垂軸と、このｎ次元単体を含む最小のユークリッド空間との共通部分を、この部分単体の、このｎ次元単体における垂軸といい、混同の恐れが無いときは、単に「この部分単体の垂軸」ともいう。

ｎ≧２のとき、ｎ次元単体の頂点Ａと、この頂点以外の２頂点Ｂ、Ｃを決めたとき、最初の頂点Ａからその対面に下ろした垂線と、これら３頂点で決まる三角形ＡＢＣの垂軸との交点を、頂点の組（Ａ；Ｂ，Ｃ）によって決まる副垂心、あるいは単に副垂心という。これを、副垂心（Ａ；Ｂ，Ｃ）、あるいは単に（Ａ；Ｂ，Ｃ）などと表すこともある。

さらに、ｎ＞ｐ≧１のとき、ｎ次元単体の（ｐ－１）次元面Σと、Σの対面上の２頂点Ｂ、Ｃを決めたとき、Σの重心を通るΣの対面の直交補空間と、Σに頂点Ｂ、Ｃを付け加えてできる（ｐ＋１）次元面の垂軸との交わりがちょうど１点であるなら、その点をｐ次の副垂心という。これを次ｐ次副垂心（Σ；Ｂ，Ｃ）、副垂心（Σ；Ｂ，Ｃ）、あるいは単に（Σ；Ｂ，Ｃ）などと表すこともある。

三角形の副垂心は、頂点の組の如何に関わらず、垂心に一致する。

単体の副垂心を通る、この単体の直交補空間を、この単体の、副垂軸と言う。

☆「垂軸」、「副垂心」、「副垂軸」ということばは、たぶん存在しない。存在しても、意味が違うかもしれない。

☆「ある条件を満たす副垂心によってできる単体の重心は垂心である」などの命題が成り立ちそう（後述）なので、副垂心の概念を考え、関連して垂軸、副垂軸の概念を考えた。

☆さらに、「ある面の副垂軸と、ある頂点から対面への垂線との交点」などと発展させることができるが、どう表現したらよいか悩むので、とりあえず、表現するのは、やめた。しかし、これらの概念は、もっと発展させたい。

定理：垂心の性質その１

垂心、および面重心球面の中心は、オイラー線上にある。外心と重心が一致するときは、その点は垂心でもある。

ｎ次元単体の外心－垂心間の距離は、面重心球面の中心－垂心間の距離のちょうどｎ倍である。

ｎ次元単体の重心は、外心－垂心間を、（ｎ－１）：２に内分する点である。

ｎ次元単体の垂心－頂点間を１：（ｎ－１）に内分する点は、面重心球面上の点である。

証明：

相似の中心の性質から、明らか。

■

定理：垂心の性質その２

ｎ次元単体の垂心は、その任意の辺について、その対面の重心を通る直交補空間上に存在する。

言い換えると、ｎ次元単体の任意の辺について、その対面の重心とこのｎ次元単体の垂心とが異なれば、これらを結ぶ直線は、この辺と垂直である。

証明：

ｎ次元単体の外心、重心、当該の辺の中点を通る平面を考える。これらが同一直線上にあるときは、そのうちの任意の1つを考えることにする。

この平面は外心と重心を含むので、オイラー線を含み、垂心も含む。外心と重心が一致するときも、これが垂心でもあるので、垂心を含む。

この平面は、ｎ次元単体の重心と、当該の辺の中点（＝辺の重心）を含むので、この辺の対面の重心も含む。

こうして、関わりの有るすべての点が同一平面上にあることが分かる。

これらの点の相互の距離から、ｎ次元単体の外心と辺の中点を結ぶ直線と、対面の重心とｎ次元単体の垂心を結ぶ直線は、平行であることが分かる。ただし、ｎ次元単体の外心と、辺の中点とが一致する場合は、対面の重心とｎ次元単体の垂心とも、一致し、逆も成り立つ。

辺の中点は、辺の外心でもあるので、ｎ次元単体の外心とを結んだ直線は、この辺と垂直である（もちろん、異なるとき）。したがって、この直線と平行な、対面の重心と単体の垂心とを結んだ直線も、辺と垂直である。

■

「モンジュ点」のもともとの定義は、この定理によるのだと思う。

ｎ＝２のときは、「対面の重心」は頂点となり、「直交補空間」は垂線となるので、「頂点から対辺に下ろした垂線は垂心を通る」ということになる。

通常の三角形の垂心の定義（各頂点から対辺への垂線の共有点）を３次元以上に拡張するのに、「対辺」→「対面」という置き換えをすると、一般的には垂心は存在しないことになってしまう。

「辺」は「辺」のまま、「頂点」の方の次元を上げ、そうして代表する１点として重心を持ってくる、そうすると必然的に「垂線」も次元が上がって「直交補空間」になるわけである。

この定理による定義を採用しなかったのは、この定理を証明するのに、天下り的に、「垂心の性質その１」にある点を垂心となるものとして定義するやり方しか思いつかなかったので。

この定理を、少し変えて拡張する。

定理：垂心の性質その３

ｎ次元単体の垂心は、ｐ次元面の垂心と、その対面の重心とを、（ｎ－ｐ）：（ｐ－１）に内分する点を通る、このｐ次元面の外心とｎ次元単体の外心を結ぶ直線と広義平行な直線上にある。

ただし、ｐ＝０のときは内分できないが、「（ｎ－ｐ）：（ｐ－１）に内分する点」は、符号を変えて外分する。「（ｎ－ｐ）：（１－ｐ）に外分する点」、すなわち「ｎ：１に外分する点」と考える。

また、ｐ＝１のときは、「ｐ次元面の垂心」は存在せず、「（ｎ－ｐ）：０に内分」というのもおかしいが、「ｐ次元面の垂心と、その対面の重心とを、（ｎ－ｐ）：（ｐ－１）に内分する点」は、「その対面の重心」のことであると考える。

なお、「このｐ次元面の外心とｎ次元単体の外心を結ぶ直線」が存在しないときは、「（ｎ－ｐ）：（ｐ－１）に内分する点」が垂心である。

証明：

「垂心の性質その２」に準ずる。

メネラウスの定理の逆を使うと、「（ｎ－ｐ）：（ｐ－１）に内分する点」は、ｐ次元面の外心、ｎ次元単体の重心と同一直線上にあることが分かる。

そこから、外心と外心を結ぶ直線は、「（ｎ－ｐ）：（ｐ－１）に内分する点」とｎ次元単体の垂心とを結ぶ直線と広義平行であることが分かる。

■

☆ｎ次元単体の外心と、そのｐ次元面の外心を結ぶ直線は、存在すれば、このｐ次元面と垂直である。つまり、「頂点から対面に下ろした垂線」でなく、「頂点からちょっとずらした点から、対面に垂直だけど必ずしも垂線ではない直線」が、１点に会し、その点が垂心なのである。

☆このことから、ｎ次元単体の垂心は、ｐ次元面の垂心と、その対面の重心とを、（ｎ－ｐ）：（ｐ－１）に内分する点を通る、このｐ次元面の直交補空間上の点であることが分かる。

別の視点から垂心を見る。

定理：垂心の性質その４

ｎ次元単体の頂点の、外接球面に関する対蹠点と、この頂点の対面の重心と、このｎ次元単体の垂心とは、同一直線上にある。

証明：

メネラウスの定理から、明らか。

■

定理：垂心の性質その５

ｎ次元単体の垂心－頂点間を１：（ｎ－１）に内分する点と、この頂点の対面の重心を結ぶ線分は、このｎ次元単体の面重心球面の直径である。

したがって、垂心－頂点間を１：（ｎ－１）に内分する点から対面に下した垂線の足は、面重心球面上の点である。

証明：

メネラウスの定理から、明らか。

■

三角形の垂心の定義の「対辺」→「対面」とする単純な拡張も考える。

定義：準垂心、狭義の垂心

ｎ次元単体の、複数の頂点から対面に下ろした垂線が同じ点を通るとき、この点を準垂心という。

特に、各頂点から対面に下ろした垂線が、すべて同じ点を通るとき、この点を狭義の垂心という。

混同の恐れがないとき、狭義の垂心を、単に「垂心」という。

０次元単体の狭義の垂心は、その頂点である。

１次元単体の狭義の垂心は、この単体を含む直線上の任意の点である。

２次元単体の準垂心、狭義の垂心は、ともに垂心である。

準垂心が存在するｎ次元単体を、ｎ次元準垂心単体、あるいは単に「準垂心単体」という。

狭義の垂心が存在するｎ次元単体を、ｎ次元垂心単体、あるいは単に「垂心単体」という。

☆「準垂心」、「準垂心単体」ということばは、たぶん存在しない。存在しても、意味が違うかもしれない。

☆三角形の垂心の定義を「複数の垂線の交点」と考えれば「準垂心」に、「すべての垂線の交点」と考えれば「狭義の垂心」となる。「準垂心」と「準垂心単体」についても、いろいろと研究しているが、高次元の理論としては、今のところ、芳しい成果は無い。

定理：狭義の垂心と広義の垂心

ｎ次元垂心単体の狭義の垂心から面に下ろした垂線の足は、その面の対面である頂点からその面への垂線の足であるが、その面の狭義の垂心である。

したがって、垂心単体の面は、やはり垂心単体である。

ｎ次元単体が、上記の「外接球面と面重心球面の相似の中心」の意味での垂心と、狭義の垂心とを持つとき、狭義の垂心は唯一であり、垂心と狭義の垂心とは一致する。

証明：

垂心を持つとき、すなわちｎ≠１のときの、狭義の垂心の唯一性は明らか。

狭義の垂心から面に下ろした垂線の足が、その面の狭義の垂心であることを、下図で説明する（申し訳ありません。一部のブラウザでは、正しく表示されません。Edge、Internet Explorer、Firefox、Google Chromeでは正しく表示されます）。

当該の面を、ａとし、その対面である頂点をＡとする。

Ａから、その対面ａに垂線を下ろし、その足をＤとする。狭義の垂心Ｈはこの垂線上ＡＤにあるので、Ｄは、狭義の垂心Ｈから下ろした垂線の足でもある。

面ａの頂点の1つをＢとする。Ｂからその対面ｂに垂線を下ろすと、やはりＨを通る。

面ａと面ｂの交わりをＣとする。

直線ＡＤは、面ａへの垂線であるから、面ａの部分であるＣと垂直である。同様に直線ＢＨも、Ｃと垂直である。

したがって、この２直線を含む平面πで、Ｃと垂直なものが存在する。平面πと面ａとの交わりは、Ｃと垂直な直線となる。

すなわち、この直線は、面ａにおける、頂点Ｂから対面Ｃへの垂線である。

この直線は、平面πと面ａの交わりであるから、その共有点の１つである点Ｄを含む。

こうして、面ａの任意の頂点から、その面ａにおける対面への垂線が、ｎ次元垂心単体における狭義の垂心Ｈから面ａへの垂線の足Ｄを通ることがわかった。

次に、狭義の垂心が垂心であることを、数学的帰納法を用いて説明する。

ｎ≦２のときは、明らか。

ｎ＝ｋのとき成り立つとして、ｎ＝（ｋ＋１）のときも成り立つことを示す。

垂心の性質その３から、（ｋ＋１）次元垂心単体の１つの頂点と対面の垂心（これは帰納法の仮定から、狭義の垂心である）とを結んだ線分を、（ｋ－１）：２に内分した点から下ろした垂線は、（ｋ＋１）次元垂心単体の垂心を通る。

ところが、この点は、頂点から下ろした垂線上にあるので、この垂線とこの垂線は重なる。

こうして、（ｋ＋１）次元垂心単体の頂点から対面に下ろした垂線は、すべて（ｋ＋１）次元垂心単体の垂心を通ることが分かる。

■

定理：垂心単体の面の垂直性

垂心単体の、共有点を持たない２辺どうしは、すべてたがいに垂直である。

したがって、垂心単体の任意の面は、その対面と垂直である。

証明：

この垂心単体が２次元以下のときは、「共有点を持たない２辺」は存在しないので、成り立つ。

３次元以上のとき、再び、下図で説明する。

辺ＡＢと、辺ＡＢとは共通点を持たない辺とが垂直であることを示す。

面Ｃは、頂点Ａの対面（＝全体からＡを除いたもの）ａと、頂点Ｂの対面（＝全体からＢを除いたもの）ｂとの共通部分であるから、頂点Ａ、Ｂ以外の頂点はすべて含んでいる。したがって、頂点Ａ、Ｂを含まない辺は、すべて面Ｃに含まれている。

また、平面πは、面Ｃと垂直であるから、平面πに含まれる辺ＡＢと、面Ｃに含まれる辺とは垂直である。

辺ＡＢと共有点を持たない辺は、すべて面Ｃに含まれるので、辺ＡＢと垂直である。

■

定理：垂心単体の性質

垂心単体の任意の面に、その面に無い頂点から下ろした垂線の足は、すべて一致する。

この垂線の足は、垂心から下ろした垂線の足と一致する。

垂心単体のある頂点から、他の頂点に向けての異なるベクトルどうしの内積は、すべて等しい。

証明：

垂心単体の任意の面は、その対面と垂直である。あるユークリッド空間に垂直なユークリッド空間の点から元のユークリッド空間への垂線の足はすべて一致するので、その面に無い頂点（∈対面）から下ろした垂線の足は一致する。

「その面に無い頂点」をＡ、「垂心」をＨ、「ＡからＡの対面に下ろした垂線の足」をＢとする。ＡＢ⊥「Ａの対面」、「その面」⊆「Ａの対面」、ＡＢ＝ＡＨであるから、ＡＨ⊥「その面」である。また、Ｈから「その面」への垂線の足をＣとすると、ＨＣ⊥「その面」である。したがって、平面ＡＨＣは、「その面」と垂直。あるユークリッド空間に垂直なユークリッド空間の点から元のユークリッド空間への垂線の足はすべて一致するので、平面ＡＨＣ上の点ＡからとＨから「その面」への垂線の足は一致する。

ベクトルの内積は、一方のベクトルの長さに、もう一方のベクトルへの、先端からの垂線の足までの（有向）長さを掛けたものである。垂線の足が一致するので、そこまでの長さも、掛けたものも等しくなる。

■

これら、垂心単体の性質に関して、若干の概念を定義する。

定義：垂心単体の性質に関する定義（垂足、直辺、等内積）

単体の面の、その面に無い頂点からの垂線の足がすべて一致するとき、その点を、その面へのその単体における垂足という。

単体の面の、対面の重心からの垂線の足を、重心垂足という。

ある面に垂足があるとき、その対面上の任意の点からの垂線の足は、この垂足に一致する。特に重心垂足は、垂足に一致する。

端点を共有しない２辺どうしが、すべてたがいに垂直であるような広義の単体を、直辺単体という。

ある頂点から、他の頂点に向けての異なるベクトルどうしの内積が、すべて等しいような広義の単体を、等内積単体という。

☆「垂足」ということばは、たぶん存在するが、意味が違うかもしれない。

☆「重心垂足」ということばは、たぶん存在しない。存在しても、意味が違うかもしれない。

定理：垂心単体の性質

垂心単体の垂心から任意の面に下ろした垂線の足は、その面への垂足である。

垂心単体の１次元でない面への垂足は、その面の垂心である。

直辺単体と等内積単体は、同じものである。

等内積単体の異なる４つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄについて、ＡＢ^２＋ＣＤ^２＝ＡＤ^２＋ＢＣ^２である。

固有単体である直辺単体は、垂心単体である。

ｎ次元垂心単体の垂軸（垂心を通る直交補空間）上で、このｎ次元単体の垂心でない点を新たな頂点として追加すると、（ｎ＋１）次元垂心単体となる。

証明：

明らか。

■

定理：垂心単体の部分単体の垂軸、副垂心

垂心単体の任意の１次元でない面の垂軸は、その面の対面の頂点、およびこの垂心単体の垂心を通る。

１＜ｐ≦ｎのとき、ｎ次元垂心単体のｐ次部分単体の、このｎ次元単体における垂軸は１点のみを共有し、その点は垂心と一致する。

垂心単体の任意の副垂心は、垂心に一致する。

証明：

垂心単体の１次元でない面への垂足は、その面の垂心であることなどから、明らか。

■

☆この定理の２行目で、ｐ＝ｎのときは、いわゆる“自明な場合”であり、垂心単体でなくても成り立つ。

☆同じく、１＜ｐ＝（ｎ－１）のときを考えると、「狭義の垂心」と「垂心単体」の、別の定義を与えることができる。頂点の方から対面に垂線を下ろすのでなく、反対に、面の方から垂軸（この場合、直線になる）を立てる訳である。

定義例：ｎ次元単体の（ｎ－１）次元面の垂軸が、唯一の共有点を持つとき、この点をこのｎ次元単体の狭義の垂心といい、狭義の垂心を持つ単体を、垂心単体という。ただし、ｎ＝２のときは、広義の垂心を狭義の垂心とする。

☆という訳で、「頂点から対面への垂線」と、「面に立てた垂軸」とは、いわば“双対的”な関係にある。この双対関係は、垂心単体に限らない。

☆１＜ｐ＜（ｎ－１）のときの「ｐ次元面に立てた垂軸」の双対概念は、「ｐ次元面の対面の重心を通る、このｐ次元面の直交補空間」である。

☆「１＜ｐ」でなく、１＝ｐのときはどうすべきか。「１次元面の対面の重心を通る、この１次元面の直交補空間」を考えるのが良いと思う。この場合、「唯一の共有点を持つとき、この点をこのｎ次元単体の狭義の垂心といい」ではなく、「必ず唯一の共有点を持ち、この点はこのｎ次元単体の広義の垂心」となる（「定理：垂心の性質その２」参照）。また、双対概念は、同じものである。

補題：直線の正射影

相異なる２点Ａ、Ｂから、あるユークリッド空間Ｅへの垂線の足をＦ_Ａ、Ｆ_Ｂとする。

直線ＡＢ上の点Ｃの、ユークリッド空間Ｅへの垂線の足をＦ_Ｃとすると、Ｆ_ＡＦ_ＢＦ_Ｃは同一直線上にあり、順序も含め、Ｆ_ＡＦ_Ｃ：Ｆ_ＣＦ_Ｂ＝ＡＣ：ＣＢである（Ｆ_Ａ＝Ｆ_Ｂのときは、Ｆ_Ｃ＝Ｆ_Ａ）。

証明：

明らか。

■

定理：垂心単体におけるｐ次の面重心球面の存在

０≦ｐ＜ｎのとき、ｎ次元垂心単体には、ｐ次の面重心球面が存在し、その中心は、ｎ次元垂心単体のオイラー線上で、垂心－外心間を１：ｐに内分する点である。

証明：

ｐ＝０、ｐ＝（ｎ－１）のときは、すでに証明したことなどから明らか。

０＜ｐ＜（ｎ－１）のとき（これは、ｎ≧３ならありうる）、ｎ次元垂心単体の垂心－外心間を１：ｐに内分する点Ｑから、ｐ次元面の重心までの距離がすべて等しいことと、唯一性（高々１つであること）を言えばよい。唯一性は、明らか。

ｐ次元面に対し、それを面とする（ｐ＋１）次元面を考えると、そのｐ次の面重心球面は、存在する。

その中心Ｆ_Ｑは、この（ｐ＋１）次元面の面の重心すべてから等距離にあり、この（ｐ＋１）次元面の、垂心－外心間を１：ｐに内分する点であることは、すでに述べた定理などから明らか。

ここで、ｎ次元垂心単体の垂心Ｈから、この（ｐ＋１）次元面への垂線の足Ｆ_Ｈを考えると、これは垂足であり、（ｐ＋１）＞１なので、この（ｐ＋１）次元面の垂心である。

また、ｎ次元垂心単体の外心Ｏから、この（ｐ＋１）次元面への垂線の足Ｆ_Ｏも、すでに述べた定理から、この（ｐ＋１）次元面の外心である。

点Ｑからこの（ｐ＋１）次元面のへの垂線の足は、Ｆ_Ｑであることが、上記補題から分かる。したがって、点Ｑは、この（ｐ＋１）次元面の、ｐ次の面重心球面の中心Ｆ_Ｑを通る、直交補空間上の点である。

ゆえに、点Ｑは、この（ｐ＋１）次元面の、ｐ次の面重心球面上のすべての点から等距離にある。言い換えると、点Ｑを中心とし、この（ｐ＋１）次元面のｐ次元面の重心すべてを通る球面が存在する。

したがって、点Ｑから、この（ｐ＋１）次元面のｐ次元面の重心までの距離は、すべて等しい。

２つのｐ次元面について、もし、これらを面とする、ｎ次元垂心単体の（ｐ＋１）次元面が存在するなら、点Ｑからこれらのｐ次元面の重心までの距離は等しいことが分かった。

２つのｐ次元面について、もし、これらを面とする、ｎ次元垂心単体の（ｐ＋１）次元面が存在しない場合も、ｎ次元垂心単体の（ｐ＋１）次元面の列で、その要素としてこれらのｐ次元面を含み、この列内で隣り合う２要素はそのｐ次元面を共有するようなものが存在するので、点Ｑからこれらのｐ次元面の重心までの距離が等しいことが分かる。

■

定義：究点

ｎ次元単体の、広義垂心－外心間を１：ｐに内分する点を、第ｐ究点と呼ぶ。ｐは、必ずしも有限正整数でなくても良い。

第０究点は外心である。

第ω究点は垂心である（ωは、最小の超限順序数）。

第（（ｎ－１）／２）究点は重心となる（（（ｎ－１）／２）は、ｎが偶数のときは、半整数である）。

第（－１）究点は、オイラー線上の無限遠点である。

第（－２）究点は、垂心から見て、外心の対称点である。

☆「究点」は、名無しNEETUBOT氏の提案により、私が名づけたものです。「九点円」の拡張と関わりがあるので同じ音、さらに垂心に向かって点が並んでいる様が、オイラー線と垂心を探究しているようで、「究」という文字が相応しいと思って付けました。

定理：垂心単体における面重心球面は垂足を通る

ｎ次元垂心単体のｐ次の面重心球面は、垂心からｐ次元面へ下ろした垂線の足（したがって垂足）すべてを通る。

証明：

ｐ次の面重心球面の中心をＱ、垂心からの垂線の足をＨとし、ｐ次元面の重心をＧとする。ＱＧ＝ＱＨを示せばよい。

点Ｑは、上記定理より、ｎ次元垂心単体の垂心－外心間を１：ｐに内分する点である。

このことと、上記補題より、点Ｑからｐ次元面への垂線の足Ｆ_Ｑも、ｐ次元面のＨ－外心間を１：ｐに内分する点であることが分かる。

ｐ＝１のとき、ｐ次元面の外心は、ｐ次元面の重心Ｇに一致するので、Ｆ_Ｑは、ＨＧの中点である。

ｐ≠１のとき、ｐ次元面の重心Ｇは、すでに述べた定理より、ｐ次元面の垂心－外心間を２：（ｐ－１）に内分する点である。

すでに述べた定理により、Ｈはｐ次元面の垂心であり、点Ｆ_Ｑは、ＧＨの中点であることが分かる。

いずれの場合も、点Ｆ_ＱがＧＨの中点なので、ＱＧ＝ＱＨである。

■

「ｐ次の面重心球面」は、三角形における九点円の拡張である。上記の定理により、垂心単体の場合は、重心のみならず、垂心からの垂線の足も通ることが分かった。

あと、「頂点－垂心間の中点」に相当する点を通ることを示せれば、完璧である。

しかし、これは、必ずしも頂点－垂心間の中点ではない。

ｐ次の面重心球面に対しては、（ｎ－ｐ－１）次元面の重心と垂心とを、（２ｐ－ｎ＋１）：（ｎ－ｐ）に内分する点が、「頂点－垂心間の中点」に相当する点であると考えられる。

その前に、補題を１つ。

補題：垂心単体における相補的面重心球面

ｎ次元垂心単体のｐ次面重心球面と、その相補的面重心球面とは、垂心に関して相似の位置にあり、相似比は（ｎ－ｐ）：（ｐ＋１）である。

証明：

相似比については、すでに述べた定理により明らか。

すでに述べた定理に基づいて、垂心から両球面の中心までの距離の比を計算すると、相似比に一致するので、垂心は相似の中心である。

■

定理：垂心単体における面重心球面のもう一系統の点

ｎ次元垂心単体のｐ次の面重心球面は、（ｎ－ｐ－１）次元面の重心とｎ次元垂心単体の垂心とを、（２ｐ－ｎ＋１）：（ｎ－ｐ）に内分する点を通る。

ただし、（２ｐ－ｎ＋１）＜０のときは、（ｎ－２ｐ－１）：（ｎ－ｐ）に外分する点である。

この点の対蹠点は、ｐ次元面の重心である。

証明：

垂心が相補的面重心球面との相似の中心であること、および相似比から明らか。

■

任意のｎ次元固有単体には、０次面重心球面（＝外接球面）と、（ｎ－１）次面重心球面（＝面重心球面）とが存在した。垂心単体には、ｐ次面重心球面（０＜ｐ＜（ｎ－１））が存在する。では、垂心単体でなく、ｐ次面重心球面（０＜ｐ＜（ｎ－１））が存在する固有単体は存在するのか？。

実は、残念ながら、存在しないことが言える。以下、この点について、述べることにする。

定理：

１次面重心球面を持つ単体は、直辺単体である。

証明：

端点を共有しない２辺を、ＡＢ、ＣＤとすると、四面体ＡＢＣＤは、元の単体の３次元面である。

元の単体が１次面重心球面を持つので、四面体ＡＢＣＤも、１次面重心球面を持つ。

１次面重心球面を持つ四面体は、直辺四面体であるので、ＡＢ⊥ＣＤ。

■

定理：

０＜ｐ＜（ｎ－１）のとき、ｐ次面重心球面を持つｎ次元単体は、直辺単体である。

証明：

端点を共有しない２辺を、ＡＢ、ＣＤとする。

このｎ次元単体の、頂点としてＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄを含む、（ｐ＋２）次元部分単体を考える。ｐ＜（ｎ－１）、すなわち（ｐ＋２）≦ｎなので、このような（ｐ＋２）次元部分単体は、必ず存在する。

この（ｐ＋２）次元部分単体には、ｐ次面重心球面が存在するので、その相補的面重心球面、すなわち1次面重心球面が存在する。したがって、この（ｐ＋２）次元部分単体は、直辺単体である。

したがって、ＡＢ⊥ＣＤ。

■

垂心単体でないｎ次元固有単体では、ｐ次面重心球面（０＜ｐ＜（ｎ－１））は、存在しないことが分った。

では、副面重心球面は、どうだろうか？。

ｐ＝１のとき。１つの頂点に接する辺（ｎ本）の中点と、それ以外の辺１本の中点とを通る球面の存在と一意性は、ほとんど明らか。

これから、ｐ＝（ｎ－２）のときも、存在する。

１＜ｐ＜（ｎ－２）のときは、（ｐ＋２）次元面を考えれば、存在することが分かる。

したがって、ｎ次元固有単体のｐ次副面重心球面は、０≦ｐ＜ｎとなる、すべてのｐに対して存在する。

以下に、副面重心球面と副垂心に関する“予想”をいくつか。これらのいくつかは多分正しいが、証明しようとすると頭がこんがらがってしまい、いまだに納得できる証明は、できていない。

予想：

ｎ次元固有単体の１次副面重心球面には、１つの頂点に接する辺（ｎ本）の中点と、それ以外の辺１本の中点とを通る球面があり、この頂点をＡ、最後の辺をＢＣとすると、その中心は、副垂心（Ａ；Ｂ，Ｃ）と外心との中点である。

ｎ次元固有単体の３頂点Ａ、Ｂ、Ｃを採り、それ以外の頂点を３頂点に対応した３つのグループΣ_Ａ、Σ_Ｂ、Σ_Ｃに分ける。このとき、Σ_Ａ∪｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝の副垂軸（Ａ；Ｂ，Ｃ）、Σ_Ｂ∪｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝の副垂軸（Ｂ；Ｃ，Ａ）、Σ_Ｃ∪｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝の副垂軸（Ｃ；Ａ，Ｂ）は、唯一の共有点を持つ。そして、この共有点と外心との中点を中心とする１次副面重心球面が存在する。

１次副面重心球面は、上記のパターンのみではない。たとえば４次元の場合、頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとすると、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ、ＡＤ、ＤＥの中点を通る３次元球面は、１次副面重心球面である。また、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡの中点を通る３次元球面も、１次副面重心球面である（これは、ちょっと怪しい気もする）。

ｎ次元固有単体のｐ次副面重心球面の中心からなる退化した単体の、重みを付けた重心は、第ｐ究点である。

ｎ次元固有単体の頂点をＡ_０、Ａ_１、Ａ_２、…、Ａ_ｎとすると、副垂心（Ａ_２；Ａ_０，Ａ_１）、…、（Ａ_ｎ；Ａ_０，Ａ_１）の重みを付けた重心は、広義の垂心である。また、すべての副垂心の、重みを付けた重心は、やはり、広義の垂心である。

副垂心（Ａ_２；Ａ_０，Ａ_１）、…、（Ａ_ｎ；Ａ_０，Ａ_１）からなる単体の（ｐ－１）次元部分単体の重心と元の単体の外心とを１：ｐに内分する点は、元の単体の、あるｐ次の副面重心球面の中心である。ｐ＝０のときは、この「（ｐ－１）次元部分単体の重心」は不定であるが、それがどこにあることにしても、結果として元の単体の外心となる。

これを少し詳しく言うと、Ａ_０、Ａ_１以外のｐ個の頂点Ａ_２、…、Ａ_{（ｐ＋１）}に対し、副垂心（Ａ_２；Ａ_０，Ａ_１）、…、（Ａ_{（ｐ＋１）}；Ａ_０，Ａ_１）の重心と、元の単体の外心とを１：ｐに内分する点は、Ａ_２、…、Ａ_{（ｐ＋１）}に元の単体のＡ_２、…、Ａ_{（ｐ＋１）}以外の頂点１つを追加してできるｐ次元部分単体の重心から、およびＡ_２、…、Ａ_{（ｐ＋１）}から１点を取り除いて代わりに２頂点Ａ_０、Ａ_１を追加してできるｐ次元部分単体の重心から、すべて同じ距離にある。

ｎ次元固有単体の２頂点Ａ_０、Ａ_１と、Ａ_０、Ａ_１以外のｐ個の頂点Ａ_２、…、Ａ_{（ｐ＋１）}に対し、副垂心（Ａ_２；Ａ_０，Ａ_１）、…、（Ａ_{（ｐ＋１）}；Ａ_０，Ａ_１）の重心と、ｐ次の副垂心（｛Ａ_２、…、Ａ_{（ｐ＋１）}｝；Ａ_０，Ａ_１）とは、一致する。

準垂心に関しても、若干の予想をした。

予想：

ｎ次元固有単体の２頂点Ａ、Ｂからそれぞれの対面への垂線が交わるなら、任意の他の頂点Ｃについて、副垂心（Ａ；Ｂ，Ｃ）は、この交点に一致する。

このとき、辺ＡＢと、その対面の任意の辺とは、互いに垂直である。

ｎ次元固有単体のある４頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。面ＡＢＣの垂軸と、面ＢＣＤの垂軸とが共有点を持てば、頂点Ａ、Ｄからそれぞれの対面への垂線は交わる。また、頂点Ｂ、Ｃからそれぞれの対面への垂線も交わる。

ｎ次元固有単体の（ｎ－１）個の頂点から対面への垂線が１点で交わるとき、残りの２頂点からその対面への垂線は交わる。

頭はこんがらがるが、関連ありそうな補題をいくつか示しておく。

補題：

あるユークリッド空間の直交補空間上の直線は、もとのユークリッド空間と垂直である。

証明：

その直線が起点を通るなら、その直線上の点は、起点を通るある“垂直”なユークリッド空間上の点なので、もとのユークリッド空間と垂直である。

起点を通らなければ、その直線と起点とで平面が確定し、その平面上の交わる２本以上の直線がもとのユークリッド空間と“垂直”なので、この平面に含まれる、当該の直線も垂直である。

■

補題：

２つのユークリッド空間が、共有点と共通垂線（両ユークリッド空間と共有点を持たなくてよい）を持つとき、これらのユークリッド空間から採った異なる２点を結ぶ直線は、この共通垂線と垂直である。

証明：

この３点（「共有点」１＋「異なる」２点）が、同一直線上にあれば、この直線は共有点と一方のユークリッド空間の点とを結ぶ直線なので、一方のユークリッド空間に完全に含まれる。したがって、共通垂線と垂直。

同一直線上に無ければ、この３点を通る平面が決まる。「異なる２点」の１点と共有点とを結んだ直線は、一方のユークリッド空間に完全に含まれるので、共通垂線と垂直。このような直線が２本あるわけだから、この平面は共通垂線と垂直。したがって、この平面上の直線である、「異なる２点を結ぶ直線」は、共通垂線と垂直。

■

系：

ｐ次の副垂心候補があれば、それは唯一であり、したがって、副垂心である。

ここに、「ｐ次の副垂心候補」とは、ｎ次元固有単体の２頂点Ａ、Ｂと、この２頂点に接しない面Σに対し、Σ∪｛Ａ，Ｂ｝の垂軸と、Σの重心を通るΣの対面の直交補空間との共有点のことである。

証明：

もし、このような点が２つあれば矛盾することを示す。

このような２点は、ともにΣ∪｛Ａ，Ｂ｝の垂軸上の点なので、この２点を結ぶ直線は、やはりΣ∪｛Ａ，Ｂ｝の垂軸上にあり、したがって、Σ∪｛Ａ，Ｂ｝と垂直である。

また、このような２点は、ともにΣの対面の直交補空間上の点なので、この２点を結ぶ直線は、やはりΣの対面の直交補空間上にあり、したがって、Σの対面と垂直である。

ところが、Σ∪｛Ａ，Ｂ｝とΣの対面とは、点Ａ（およびＢ）を共有するので、補題より、この２点を結ぶ直線は、Σ∪｛Ａ，Ｂ｝とΣの対面の２点を結ぶ、任意の直線と垂直である。このことは、このｎ次元固有単体の任意の２点を結ぶ直線と垂直ということであり、そのような直線は、このｎ次元固有単体を含むｎ次元ユークリッド空間内には存在し得ない。

■

定理：

ｎ次元固有単体の頂点Ａ、Ｂ、Ｃに対して、その副垂心（Ａ；Ｂ，Ｃ）は、必ず存在する。

証明：

頂点Ａから直線ＢＣへの垂線の足をＤ、対面への垂線の足をＥ、三角形ＡＢＣの垂心をＨとする。Ａ、Ｄ、Ｈは同一直線上である。また、点Ｄは、頂点Ａの対面上の点である。

Ａ、Ｅ、Ｈが同一直線上なら、点Ｈが副垂心であることは明らかであるから、Ａ、Ｅ、Ｈが同一直線上でない場合を考える。

この場合、点Ａ、Ｅ、Ｈにより、平面が一つ確定する。

点Ｄは、直線ＡＨ上の点なので、この平面ＡＥＨ上にある。また、点Ｄは、点Ｅと一致すると、Ａ、Ｅ、Ｈが同一直線状になってしまうので、点Ｄ≠点Ｅ。

平面ＡＥＨと三角形ＡＢＣの垂軸との交わりは、この平面上の直線である。この直線を、ＨＦとする。

また、三角形ＡＢＣの垂軸すなわち直交補空間の直線は面ＡＢＣの任意の直線と垂直なので、直線ＨＦは直線ＡＨと垂直である。

直線ＨＦが、直線ＡＥと平行でないことを示せばよい。

直線ＡＥは、頂点Ａから対面への垂線であるから、頂点Ａの対面と垂直である。したがって、対面上の直線ＥＤと垂直。

直線ＨＦと直線ＡＥとが平行なら、直線ＨＦも、やはり直線ＥＤと垂直である。

こうして、直線ＨＦは、直線ＡＨとも、直線ＥＤとも垂直ということになる。

このとき、直線ＡＨと直線ＥＤは、完全に一致するか、まったく共有点を持たない。

直線ＥＤは、頂点Ａの対面上の直線なので、頂点Ａと共有点を持たない。したがって、一致することはあり得ない。

しかし、点Ｄは、これらの共有点である。

この矛盾は、直線ＨＦと直線ＡＥとが平行であると仮定したことによる。したがって、この２直線は必ず交わる。この交点は、副垂心候補である。

頂点Ａから対面への垂線は直線であるから、これと交わるユークリッド空間との共有点は、１つしかないので、この副垂心候補は、副垂心である。

■

定理：

ｐ_１次の副垂心（Σ_１；Ａ，Ｂ）と、ｐ_２次の副垂心（Σ_２；Ａ，Ｂ）をｐ_２：ｐ_１に内分する点は、（ｐ_１＋ｐ_２）次の副垂心（Σ_１∪Σ_２；Ａ，Ｂ）である。

証明：

面Σ_１∪Σ_２∪｛Ａ，Ｂ｝の垂心の位置は、「垂心の性質その３」から分かり、そこに立てた垂軸に、この点が載っていることは明らか。

また、面Σ_１∪Σ_２の重心の位置は、重心の性質から分かり、そこから対面に下ろした直交補空間に、この点が載っていることが分かる。

したがって、この点は副垂心（Σ_１∪Σ_２；Ａ，Ｂ）である。

■

これらの予想に関連して、垂心、垂軸、副垂心、副垂軸の概念を拡張することを考えた。

定義：垂壁、副垂心、副垂軸

ｎ次元固有単体のｐ次元面と、このｐ次元面と共有点を持たないｑ次元面に対し、ｐ次元面の重心を通るｑ次元面の直交補空間を（ｐ＋１）次の垂壁、ｐ次元面からｑ次元面への垂壁、あるいは単に垂壁といい、この（ｐ＋１）のことを垂壁の次数という。

このｐ次元面をΣ_ｐ、ｑ次元面をΣ_ｑとするとき、この垂壁を、垂壁（Σ_ｐ；Σ_ｑ）と表すことにする。

垂壁の有限個の共通部分を、「副垂軸」と呼ぶ。副垂軸が、１点のみからなるとき、この１点を「副垂心」と呼ぶ。

全空間は任意のｎ次元固有単体の、空集合は垂心単体でないｎ次元固有単体の副垂軸となっているが、これらを自明な副垂軸ということがある。

Ａ＝Ｗ₀∩Ｗ₁∩Ｗ₂∩Ｗ₃∩…∩Ｗ_k（Ａは副垂軸、Ｗ_iは垂壁）であって、Ａ≠Ｗ₁∩Ｗ₂∩Ｗ₃∩…∩Ｗ_kとなるとき、「Ｗ₀はＡを決めるのに必要」という。

副垂軸を決めるのに必要な垂壁の次数の最大値を、その副垂軸の次数という。

副垂軸が、同じ次数の垂壁の共通部分として表わせるとき、その副垂軸は、正則であるという。

ちょっと拍子抜けするかもしれないが、これで、以前に定義した「副垂心」、「副垂軸」、およびその組み合わせをすべて含んでおり、しかも特定の点のみが「副垂心」となるようになっていて、「無意味な定義」には、なっていない（「有意義な定義になっている」という意味ではない）。

たとえば、

三角形ＡＢＣの垂心は、垂壁（｛Ａ｝；｛Ｂ，Ｃ｝）∩垂壁（｛Ｂ｝；｛Ａ，Ｃ｝）

四面体ＡＢＣＤの副垂心（Ａ；Ｂ，Ｃ）は、垂壁（｛Ａ｝；｛Ａ｝^Ｃ）∩垂壁（｛Ｂ｝；｛Ａ，Ｃ｝）

である。ここに、「｛Ａ｝^Ｃ」は、｛Ａ｝の対面である。

☆垂壁の次数の定義において、ｑの値は考慮しない。これは、垂壁の積集合としての副垂心の次数に影響しないからである。それは、「ｑ次元面Σ_ｑへの垂壁」の代わりに、「ｑ次元面Σ_ｑのすべての辺への垂壁の積集合」としても良いことで分かる。

ここでまた、いくつかの予想を立てた。

予想：

Ⅰ．ｐ＋ｑ＜ｎのとき、正則なｐ次副垂心と正則なｑ次副垂心を結んだ線分をｑ：ｐに内分した点は、必ずしも正則でない（ｐ＋ｑ）次副垂心である。

Ⅱ．外心と正則なｐ次副垂心とを、ｐ：１に内分する点は、あるｐ次副面重心球面の中心である。

Ⅲ．外心とｐ次副面重心球面の中心を結んだ線分を、１／ｐだけ延長したところの点は、正則なｐ次副垂心である。

これらの予想が成り立つと、下記のような、美しい結果が得られる。

予想の系：

ｎ次元固有単体の、ｐ個の１次副垂心によって決まる必ずしも固有でない単体の重心は、ｐ次正則副垂心である。

ｎ次元固有単体の、正則なｐ次副垂心と垂心を結んだ線分を（ｎ－ｐ－１）／ｐだけ延長したところの点は、（ｎ－ｐ－１）次副垂心であり、もとの副垂心と、この副垂心とに対応した副面重心球面どうしは、互いに相補的である。

また、この（ｎ－ｐ－１）次副垂心と、もとの副垂心に対応した副面重心球面の中心を結んだ直線は、第（ｎ－１）究点を通る。

ｎ次元固有単体の、ｐ次副面重心球面と、これに相補的な副面重心球面とのそれぞれに対応する副垂心どうしを結んだ線分をｐ：（ｎ－ｐ－１）に内分する点は、垂心である。

Ⅰ．は、副垂心（Σ_１；Ａ，Ｂ）と、（Σ_２；Ａ，Ｂ）との場合の拡張であるが、残念ながら、３次元で反例が見つかった。たとえば、垂心単体でない３－単体ＡＢＣＤで、副垂心（Ａ；Ｂ，Ｃ）と、（Ａ；Ｂ，Ｄ）。何か、もう少し条件が必要。

Ⅱ．は、証明できそうだ。

Ⅲ．は、ｎ≦４のとき、証明できるが、ｎ≧５のときには、反例がある。たとえば、５次元単体ＡＢＣＤＥＦの１次元面（＝辺）ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ、ＤＥ、ＥＦ、ＦＤの重心（＝中点）すべてを通る４次元球面は１次副面重心球面であるが、外心とこの球面の中心とを（１＋ｐ）：１に外分する点を通る垂壁すべての共通部分が１点となるとは限らない。

面倒くさそうな、予想Ⅰ．はやめにして、とりあえず証明できそうな、予想Ⅱ．の証明を試みる。

そこで、補題をひとつ。

補題：

ｎ次元固有単体の、ある（ｐ－１）次元面をΣ_ｐ、この（ｐ－１）次元面Σ_ｐと共有点を持たないある辺をＢＣとする。

この単体の外心Ｏと、垂壁（Σ_ｐ；ＢＣ）上の任意の点Ｘとを、ｐ：１に内分する点は、面Σ_ｐ∪｛Ｂ｝の重心および面Σ_ｐ∪｛Ｃ｝の重心から、等距離にある。

逆に、面Σ_ｐ∪｛Ｂ｝の重心および面Σ_ｐ∪｛Ｃ｝の重心から等距離にある点と、この単体の外心Ｏとを、ｐ：（ｐ＋１）に外分する点は、垂壁（Σ_ｐ；ＢＣ）上にある。

補題の証明：

Σ_ｐの重心をＡとする。

面Σ_ｐ∪｛Ｂ｝の重心（Ｂ’と名づける）は、重心の性質から、線分ＡＢを１：ｐに内分した点である。面Σ_ｐ∪｛Ｃ｝の重心（Ｃ’と名づける）も、線分ＡＣを１：ｐに内分した点である。

辺ＢＣと線分Ｂ’Ｃ’は、Ａを相似の中心とし、相似比１：ｐの相似の位置にある。

したがって、辺ＢＣの中点をＭとすると、直線ＡＭと直線Ｂ’Ｃ’との交点は、線分Ｂ’Ｃ’の中点となる。この点をＭ’とすると、ＡＭ’：Ｍ’Ｍも、１：ｐとなる。すなわち、点Ｍ’は、線分ＡＭを１：ｐに内分した点である。

また、辺ＢＣと線分Ｂ’Ｃ’は、相似の位置にあるので、平行である。したがって、直線Ｂ’Ｃ’の直交補空間は、辺ＢＣの直交補空間である。

ここで、辺ＢＣの３つの直交補空間を考える。

その１は、Σ_ｐの重心Ａを通るもの、すなわち、垂壁（Σ_ｐ；ＢＣ）。

その２は、辺ＢＣの中点Ｍを通るもので、この単体の外心Ｏも通る。

その３は、辺Ｂ’Ｃ’の中点Ｍ’を通るもので、点Ｂ’、Ｃ’から等距離にある点全体の集合でもある。これをＦと名づける。

これらは、同一の直線ＢＣの直交補空間であるから、たがいに平行である。

これらの平行空間の各々の点Ａ、Ｍ、Ｍ’が同一直線上にあり、ＡＭ’：Ｍ’Ｍ＝１：ｐなので、これらの平行空間の各々の点Ｘ、Ｏ、直線ＸＯと空間Ｆの交点の３点相互の距離も、同じ比１：ｐである。

このことは、「この単体の外心Ｏと、垂壁（Σ_ｐ；ＢＣ）上の任意の点Ｘとを、ｐ：１に内分する点」が、直線ＸＯと空間Ｆの交点に一致することを示している。

この点は、空間Ｆ上の点なので、点Ｂ’、Ｃ’から等距離にある。

逆は、明らか。

■

系：

この補題で、「辺ＢＣ」とあるところを「ｑ次元面Σ_ｑ」としても、同様なことが成り立つ。

すなわち、この単体の外心Ｏと、垂壁（Σ_ｐ；Σ_ｑ）上の任意の点Ｘとを、ｐ：１に内分する点は、ｐ次元面Σ_ｐ∪｛Ｖ｝（Ｖ∈Σ_ｑ）の重心すべてから、等距離にあり、逆も成り立つ。

定理：（上記予想Ⅱ．）

ｎ次元固有単体の、外心と、正則なｐ次副垂心とを、ｐ：１に内分する点は、このｎ次元固有単体の、あるｐ次副面重心球面の中心である。

証明：

この正則なｐ次副垂心を構成する個々の垂壁について、補題あるいはその系を適用すると、垂壁の「から側」の面に「へ側」の面の頂点を追加して得られるｐ次元面の重心から、外心とこのｐ次副垂心とをｐ：１に内分する点は、すべて等距離にあることが分かる。すなわち、これらのｐ次元面の重心すべてを通る、ある（ｎ－１）次元球面の中心である。

次に、このような球面は、唯一であることを示す。

このような球面、すなわちこれらのｐ次元面の重心すべてを通る球面が、あるとする。その中心は、これらのｐ次元面の重心すべてから、等距離にある。

したがって、この正則なｐ次副垂心を構成する個々の垂壁について、垂壁の「から側」の面に「へ側」の面の頂点を追加して得られるｐ次元面の重心すべてから、等距離にある。

このような点は、補題あるいはその系の逆により、外心とこれらの垂壁上のある点とをｐ：１に内分する点であることがわかる。

この「ある点」は、これらすべての垂壁上にあることになるが、そのような点は、唯一である（副垂心が存在するので）から、この副垂心に一致する。

したがって、この点も、唯一である。

■

ここで、予想Ⅲ．について考える。これは、予想Ⅱ．の逆であるから、予想Ⅱ．の証明が参考になる。

予想Ⅲ．の反例は、ｐ次副面重心球面を決めるｐ次元面の集合が、連結でないことに由来するように感じられる。

より正確に言うと、ｐ次元面の列で、隣り合うものが（ｐ－１）次元面を共有するようにできたとき、この列の要素どうしは“連結”であると定義すると、２つのｐ次元面で“連結”でないものがあるということである。

この意味で“連結”ならば、隣り合うものどうしでｐ次の垂壁が作れ、それを列にすることができるが、“連結”でないものどうしは、垂壁も、垂壁の列も作れないので、うまくいかないらしい。

そこで、新たな概念を導入することにする。

定義：ｐ次元単体のｑ次連結鎖、ｑ次連結集合

ｐ次元単体の有限列｛Ｓ_ｉ｝（１≦ｉ≦ｎ）で、Ｓ_ｉとＳ_{（ｉ＋１）}が、（ｑ－１）次元面を共有するものを、ｐ次元単体のｑ次連結鎖、あるいは単に、単体の連結鎖、ｑ次連結鎖などといい、この有限列の要素数を、連結鎖の長さという。

ｐ次元単体の集合の、ある２要素に対し、その２要素を含み、その集合内の単体のみからなるｑ次連結鎖が存在するとき、この２要素は、この集合内で、ｑ次連結であるという。

ｐ次元単体の集合で、その任意の２要素に対し、その２要素を含み、その集合内の単体のみからなるｑ次連結鎖が存在するものを、ｐ次元単体のｑ次連結集合、あるいは単に、単体の連結集合、ｑ次連結集合などという。

☆「鎖」という言葉は、別の意味で使われているので、他の言葉にしたいのだが、良い言葉が思いつかない。どなたか、適切な言葉をお教えくだされば、それにしたいと思っている。

☆“連結”という、位相（トポロジー）の用語を使った。私の勘違いでなければ、ｐ次元単体の集合に対し、この集合に、その要素の（ｑ－１）次元面をすべて付け加えた集合を考えれば、その集合における自然な位相で連結ということと、ｑ次連結ということが、同じ意味になるはずである。

この概念に関する定理を一つ。

定理：

ｎ次元単体の、ｐ次元面（０≦ｐ＜ｎ）全体からなる集合は、ｐ次連結である。

証明：

ｎ次元単体の、２つのｐ次元面を、Ｆ_１、Ｆ_２とする。

Ｆ_１にあってＦ_２に無い頂点全体（高々（ｐ＋１）個）を順に並べて、Ｖ_１、Ｖ_２、…、Ｖ_ｍとし、逆にＦ_２にあってＦ_１に無い頂点全体を順に並べて、Ｕ_１、Ｕ_２、…、Ｕ_ｍとする。

｛Ｆ_１－｛Ｖ_ｉ｝∪｛Ｕ_ｉ｝（ｉ≦ｊ）｝（０≦ｊ≦ｍ）という列（Ｆ_１からｊ個の頂点を削除し、Ｆ_２のｊ個の頂点を追加することを、順に（ｍ＋１）回行ってできる列）は、あきらかに、Ｆ_１とＦ_２を含み、ｐ次連結鎖である。

任意の２面について、このようなｐ次連結鎖が作れるので、ｐ次元面（０≦ｐ＜ｎ）全体からなる集合は、ｐ次連結である。

■

さらに、「“連結”でないものどうし」について、垂壁の拡張概念を定義する。

隣り合う垂壁の列によって関連付けることによって、離れた所でも対処できるようにする訳である。

定義：凧、凧の足

ｐ次元単体のｐ次連結集合の２つの異なる要素Ｓ_１からＳ_２へのｐ次の凧、および凧の足とは、次により帰納的に定義されたものである。

１．Ｓ_１とＳ_２の共通部分が、両単体の（ｐ－１）次元面であるとき、Ｓ_１とＳ_２の頂点すべてで定義される単体の、面Ｓ_１∪Ｓ_２からその対面（Ｓ_１－Ｓ_２）∪（Ｓ_２－Ｓ_１）への垂壁は、Ｓ_１からＳ_２へのｐ次の凧である。

２．第３の要素Ｓ_３があって、Ｓ_１からＳ_３へのｐ次の凧が定義され、Ｓ_３とＳ_２の共通部分が、Ｓ_３とＳ_２の（ｐ－１）次元面であれば、Ｓ_１、Ｓ_２、Ｓ_３の重心をそれぞれＧ_１、Ｇ_２、Ｇ_３とするとき、平面Ｇ_１Ｇ_２Ｇ_３、Ｓ_１からＳ_３へのｐ次の凧、Ｓ_３からＳ_２へのｐ次の凧の３者の共通部分を含む、直線Ｇ_１Ｇ_２の直交補空間を、Ｓ_１からＳ_２へのｐ次の凧とする。

３．上記１．、２．によって得られるもののみが、ｐ次の凧である。

４．Ｓ_１からＳ_２への凧と、Ｓ_１の重心－Ｓ_２の重心を結んだ直線との交点を、Ｓ_１からＳ_２への凧の足という。

要するに、上図の関係である。Ｓ_１とＳ_２が共有面を持たなくても、中間にＳ_３などを置くことで、間接的に関連付けることができる。

この定義では、「連結鎖」という用語は表れていないが、Ｓ_１、Ｓ_３、Ｓ_２を含む連結鎖ができている。

☆「凧」、および「凧の足」という言葉は、存在しない。存在しても、別の意味で使われている。

☆「凧」という言葉は、「この空間は宙に浮いているが、Ｓ１などとつながっている」ということから、凧上げを連想したので、そう名付けた。

☆「凧の足」の「足」は、「垂線の足」の「足」である。「凧の脚」ではない。もちろん「蛸の脚」でもない。「凧の糸目」も考えたが、結局「足」にした。

この定義での、途中のＳ_３の採り方によって、異なる凧ができる可能性がある。

しかし、ｐ次連結集合が固有単体の面の集合である場合、凧はＳ_１とＳ_２によって、一意に決まることが、次の定理で分かる。

定理：

ｎ次元固有単体のｐ次元面全体からなるｐ次連結集合において、異なる２面Ｆ_１、Ｆ_２を採る。

この単体の外心をＯ、Ｆ_１の重心とＦ_２の重心との中点をＭ、直線ＯＭとＦ_１からＦ_２への凧との交点をＸとすると、ＯＭ：ＭＸ＝ｐ：１となる。

逆に、外心Ｏ、Ｆ_１の重心とＦ_２の重心との中点Ｍを、（ｐ＋１）：１に外分する点は、Ｆ_１からＦ_２への凧の上の点である。

証明：

Ｆ_１からＦ_２への連結鎖の長さについての数学的帰納法による。

長さが２、すなわち、Ｆ_１とＦ_２とが、（ｐ－１）次元面を共有する場合は、予想Ⅱ．の補題により、明らか。

次に、長さがｋ以下のとき成り立つなら、長さが（ｋ＋１）のときも成り立つことを示す。

Ｆ_１からＦ_２への長さ（ｋ＋１）の連結鎖を、この連結鎖でＦ_２の隣りにある面Ｆ_３を採り、Ｆ_１－Ｆ_３とＦ_３－Ｆ_２とに分ける。

Ｆ_１、Ｆ_２、Ｆ_３の重心を、Ｇ_１、Ｇ_２、Ｇ_３とする。

Ｆ_１－Ｆ_３は、長さがｋ以下なので、外心Ｏ、Ｆ_１の重心Ｇ_１とＦ_３の重心Ｇ_３との中点Ｍ_１３、Ｆ_１からＦ_３への凧の上の点Ｘ_１３は、ＯＭ_１３：Ｍ_１３Ｘ_１３＝ｐ：１となる。

したがって、これらの点Ｏ、Ｘ_１３からＦ_１の重心Ｇ_１とＦ_３の重心Ｇ_３とを結んだ直線への垂線の足も、Ｏ_１３Ｍ_１３：Ｍ_１３Ｈ_１３＝ｐ：１となる（Ｏ_１３は外心Ｏから、Ｈ_１３はＸ_１３からの垂線の足）。

Ｆ_３－Ｆ_２も同様であることは、予想Ⅱ．の補題により、明らか。Ｏ_３２Ｍ_３２：Ｍ_３２Ｈ_３２＝ｐ：１となる（Ｏ_３２は外心Ｏから、Ｈ_３２はＸ_３２からの垂線の足）。

これら、平面Ｇ_１Ｇ_２Ｇ_３上の点を、下図に示す（赤で示した点は、まだ述べていない点である）。

外心からの垂線の足Ｏ_１３に立てたＧ_１Ｇ_３の垂線と、Ｏ_３２に立てたＧ_３Ｇ_２の垂線との交点は、外心から平面Ｇ_１Ｇ_２Ｇ_３への垂線の足である。

凧の足Ｈ_１３に立てたＧ_１Ｇ_３の垂線と、Ｈ_３２に立てたＧ_３Ｇ_２の垂線との交点は、凧の定義の２．における、「３者の共通部分」の点である。

この２点をｐ：１に内分する点は、この点から直線Ｇ_１Ｇ_３への垂線の足がＧ_１Ｇ_３の中点Ｍ_１３となり、この点から直線Ｇ_３Ｇ_２への垂線の足がＧ_３Ｇ_２の中点Ｍ_３２となるので、三角形Ｇ_１Ｇ_２Ｇ_３の外心となる。

これら３点それぞれを通る、直線Ｇ_１Ｇ_２の直交補空間を考えると、その間隔の比は、やはりｐ：１となるので、これらの直交補空間上の点Ｏ、Ｍ、Ｘについても、その間隔比は、ｐ：１となる。

■

系：

ｎ次元固有単体のｐ次元面からなる集合において、その異なる２要素間のｐ次の凧は、その２要素の組によって決まり、この２要素の順序、凧を決めるの当たっての中間の要素によらない。

系：

ｎ次元固有単体のｐ次副面重心球面の中心は、この副面重心球面を決めるｐ次元面の２つずつの組によって決まるｐ次の凧の共通部分上の点と、この単体の外心とを、１：ｐに内分した点である。

また、逆に、外心とｐ次副面重心球面の中心とを（ｐ＋１）：１に外分する点は、このような凧の共通部分の点である。

したがって、このような凧の共通部分は、１点のみよりなる。

こうして、予想Ⅲ．は、少し違った形で成り立つことが分かった。

そこで、これに合わせて、定義を変えることにする。

定義：副垂軸、副垂心

ｎ次元固有単体の面からなる集合における、その２要素間の凧の共通部分を、副垂軸という。

副垂軸が１点のみとなるとき、その点を副垂心という。

以前に定義した「副垂軸」、「副垂心」と区別する必要があるときは、最初に定義したものを狭義の、次に定義したものを中義の、今回定義したものを広義のとする。

定理：（上記予想Ⅱ．の拡張）

ｎ次元固有単体の、外心と、広義の正則なｐ次副垂心とを、ｐ：１に内分する点は、このｎ次元固有単体の、あるｐ次副面重心球面の中心である。

証明：

明らか。

☆予想Ⅰ．は、やはり未解決である。捨ててしまうのも惜しいが、今のところ、良い解決策は思いつかない。したがって、「予想の系」の成立は、後半しか言えない。

垂壁と凧は、かなり多くの場合、垂心を通ることが言える。

定理：

ｎ次元固有単体の（ｐ－１）次元面Σから辺ＢＣへの垂壁は、２つのｐ次元面Σ∪｛Ｂ｝、Σ∪｛Ｃ｝の重心を結ぶ直線の直交補空間であり、（ｐ＋１）次元部分単体Σ∪｛Ｂ，Ｃ｝の垂心を通る。

証明：

垂心の性質その２などから、明らか。

■

定理：

（２ｐ＋１）次元固有単体の、あるｐ次元面からその対面（やはりｐ次元面）へのｐ次の凧は、この（２ｐ＋１）次元固有単体の垂心を通る。

証明：

この２面の重心を結ぶ線分の中点は、この（２ｐ＋１）次元固有単体の重心であることは、重心の性質から明らか。

上述した定理から、この凧は、外心とこの点（２面の重心を結ぶ線分の中点）を（ｐ＋１）：１に外分した点を通ることが分かるが、この点は垂心の性質その１から、垂心であることが分かる。

■

定理：

ｎ次元垂心単体の任意の異なる２つのｐ次元面間のｐ次の凧は、この垂心単体の垂心を通る。

証明：

「垂心単体におけるｐ次の面重心球面の存在」から、垂心単体のｐ次の副面重心球面はｐ次の面重心球面となり、その中心は外心－垂心間をｐ：１に内分する点（第ｐ究点）であることが分かる。

ｐ次の面重心球面は、すべてのｐ次元面の重心を通るので、この定理の２つのｐ次元面の重心も通る。したがって、その中心は、両重心間の中点を通る、両重心を結ぶ直線の直交補空間上にある。

上述した定理から、この凧は、外心と２面の重心を結ぶ線分の中点を（ｐ＋１）：１に外分した点を通ることが分かる。凧もこの両重心を結ぶ直線の直交補空間であることに注意すれば、このことから、垂心を通る、この両重心を結ぶ直線の直交補空間と凧とが一致することが分かる。

■

☆上記３定理に見るように、かなり多くのケースで、凧は垂心を通る。そこで、垂心を通ることを凧に当たるもの（広義の垂壁）の定義にしようと考えたこともあったが、それに基づいて副垂心の定義を拡張しても、やはり予想Ⅲ．の証明は難しい（たぶん、反例がある）。そこで、「外心と２面の重心を結ぶ線分の中点を（ｐ＋１）：１に外分した点を通る、両重心を結ぶ直線の直交補空間」という、姑息っぽい定義も考えたが、イメージがつかみづらいので、やめた。

☆垂壁あるいは凧が、必ずしも垂心を通らないことは、４次元の一般単体（垂心単体でない固有単体）の、１点のみを共有する２つの２次元面間の凧で言える。したがって、垂心を通ることを「広義の垂壁」の定義にすると、ここで定義した凧とは異なるものになる。

三角形の五心関連の事項としては、他に、

① 古典的な五心以外の「心」、たとえば、フェルマー点

② 心の相互の関係、たとえば、垂足三角形の内心は垂心

③ 関連する円などの相互の関係、たとえば、九点円と内接円（フォイエルバッハ）、直角双曲線と垂心

などがあるが、私の能力では、今のところ、面白い高次元への拡張を見つけていない。