囲碁を開集合による位相数学で説明してみる
囲碁は、石と石のつながりが重要なゲームです。
「つながり」を研究する数学は、位相数学（トポロジー）です。
そこで、囲碁をトポロジー的に表現したらどうなるのか、考えてみました。
位相数学は、「開集合」の概念から入ることが多く行われています。そこで、囲碁についても、「開集合」を定義することを考えました。
開集合は、いわゆる「無定義要素」で、下記の「公理」を満たすものです。
●公理：
Ⅰ． 任意個の開集合の和集合は、また、開集合である。
Ⅱ． 任意有限個の開集合の共通部分は、また、開集合である。
ここで、「Ⅰ．」の「任意個」ということは、ゼロ個でも良いと考えれば、空集合もまた開集合であるべきだと分かります。
「Ⅱ．」の「任意有限個」もゼロ個を許すと考えられますが、「ゼロ個の集合の共通部分は全体集合である」と考えるのが、合理的です。
「すべての開集合の集合」のことを、「位相」と呼びます。何が開集合であるかを決めることで、「つながり」を定めることができるという気持ちです。
位相数学では、「つながり」は、「連結」の概念で表します。「連結」の前に、その反対概念である、「非連結」を定義しておきます。
●定義：非連結
集合Ｓが非連結であるとは、２つの開集合Ａ、Ｂの和集合に包含され、ＡともＢとも空集合でない共通部分を持つのに、Ｓ、Ａ、Ｂすべての共通部分が空集合にできることを言う。
つまり、Ｓという集合が、Ａ、Ｂ２つの開集合によって、２つの部分に分けることができてしまうのが、非連結ということです。下図の例では、集合Ｓは、２つの部分に分かれています。
特に、集合Ｓが開集合の場合は、Ａ、Ｂ２つの開集合との共通部分が開集合となるので、集合Ｓは、交わらない２つの開集合に分かれることになります。
３つ以上に分けることができる場合は、当然２つに分けることができるので、非連結です。
●定義：連結
非連結な集合ではない集合は、「連結」であると言う。
どうやっても、２つの開集合によって２つの部分に分けることができないのが、連結ということです。
下図は、気持ちを表現しました。この図に表示されている以外の開集合も存在するかもしれませんが、それらの組み合わせによって非連結になりうることは、この図を見るときは、考えないでください。
「つながり」を表現する原理が分かったので、次に、囲碁における石と石のつながりを表現する方法、つまり何を開集合とすべきか、について考えることにします。
私が最初に考えたのは、「隣り合っている石を開集合とする」というものでした。
つまり、「黒石Ａと黒石Ｂが隣り合っているとき、それらからなる集合｛Ａ、Ｂ｝を開集合とする。」ということです。
これでは目的が達せられないことが、すぐに分かりました。
黒石Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが、隣り合ってこの順で並んでいる場合を考えてみます。
｛Ａ、Ｂ｝、｛Ｂ、Ｃ｝を開集合とするので、「公理Ⅱ．」により、｛Ｂ｝も開集合でなければなりません。
同様に考えて、｛Ｃ｝も開集合です。
すると、｛Ｂ、Ｃ｝は、空集合でない、交わらない２つの開集合｛Ｂ｝と｛Ｃ｝に分けることができてしまい、非連結です。
しかし、ＢとＣは隣り合っているので、｛Ｂ、Ｃ｝は、連結でなければならないのです。
問題を解決するには、開集合でない集合を考える必要があります。
その一つの方法として、石と石の間にある「何か」を考えることにします。とりあえず「線」と名付けましょう。これは、碁盤に引かれた線をイメージして名づけました。
線は、石と同様に、今考えている集合（位相空間）の要素になります。ただし、｛石｝は開集合になりましたが、｛線｝は開集合ではないことが期待されます。
｛線｝を開集合としないようにできるでしょうか。
開集合の候補として、下記の条件を考えました。
条件Ⅰ． 石と線からなる集合である。石の数、線の数は０でも良い。
条件Ⅱ． もし線をその要素として含むなら、その線の両端の石も、その要素として含む。
石をその要素として含む場合の条件は、無い。
こうすれば、「公理Ⅰ．」、「公理Ⅱ．」を満たし、｛線｝は開集合とならないことが確認できます。
そして、隣り合う石どうしは、間に線を引けば、つながることが分かります。
なお、石が打たれていない、空点も含めて考えたいこともあるので、そのときは、「黒石、白石、あるいは空点」を「点」と呼ぶことにします。
石と石のつながりを表現するにあたって、「石」ではないものである「線」を考えました。
このことは、石から「線」という触手のようなものが出ていて、それが一緒になることで「つながり」が生まれると考えることもできます。
そこで、石を含む集合に対して、そこに含まれる石の、ここで言う「触手」である線を追加した集合を考えることにします。
これは、実は、位相数学における「閉包」の概念に一致します。
●定義：閉包
集合Ｓの閉包とは、要素Ｐを含む開集合と、集合Ｓとの共通部分が必ず空集合とならないような要素Ｐの集合のことである。
石の集合が「つながっている」ということは、その石の集合の閉包が連結であるということです。
この図では、石と石の間だけでなく、石の上下左右にも線があります。
たとえば黒石Ａの左の線をＰとすると、線Ｐは、黒石Ａおよび左にあるはずの「点」と組み合わさって、開集合を構成します。線Ｐを含む開集合は、必ずこの開集合を包含します。それらの開集合と、この集合との共通部分は、いずれも黒石Ａを含み、空集合ではないので、線Ｐは、この閉包の要素となるのです。
囲碁における石の集合を考えるときは、ほとんどの場合、その集合の閉包を考えることになります。
囲碁に限らずですが、ある集合の閉包が必ず元の集合を包含することは、明らかです。
「閉包」と関連して「境界」の定義も示しておきます。
●定義：境界
集合Ｓの境界とは、要素Ｐを含む開集合Ｏと、集合Ｓとの共通部分が必ず空集合とならず、開集合Ｏから集合Ｓの要素を取り除いても空集合とならないような要素Ｐの集合のことである。
言葉で説明するとかなりややこしいようですが、境界は、その周りの線だけからなる集合になります。
上図では、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄと、白い円を描きましたが、これは白石という意味ではなく、考えている集合の要素の点ではあるが、「境界」には含まれないものという意味です。
もし、AとBを結ぶ線が考えている集合に属せば、｛A，B，AB間の線｝という開集合は、考えている集合の要素を取り除くと空集合になってしまいます。したがって、この線は境界には含まれません。
AとBを結ぶ線が考えている集合に属さないとすると、この線は境界に含まれます。もっとも、囲碁においては、ほとんどの場合閉包を考えるので、「AとBを結ぶ線が考えている集合に属さない」ということは、めったに考えません。
「つながっている」ということに関しては、「連結成分」という概念も重要です。
●定義：連結成分
集合Ｓの連結成分とは、Ｓの連結な部分集合Ｒで、もしＲを含むＳの部分集合で連結なものがあれば、それは必ずＲに一致するようなもののことである。
上図では、｛黒石Ｃ、黒石Ｄ｝の閉包は、黒石全部の集合の閉包の連結成分です。
また、一般に、空でない連結集合は、それ自身の連結成分です。
さて、ここまで準備ができたので、囲碁のルールを、位相数学の言葉で書いてみます。
囲碁のルールは、時代により、国・地域により、微妙に異なりますが、位相数学と関係無いと思われる部分については、割愛します。
① 先手と後手の２人で対戦します。
② 先手はその手番のとき、空点を１つだけ黒石にします。
後手はその手番のとき、空点を１つだけ白石にします。
③ 先手の手番のとき、ある白石の集合の閉包の境界が、黒石の集合の閉包に包含されるようにできたならば、その白石の集合の点を、すべて空点にすることができます。
これを「白石を取る」、「白石を上げる」と言います。
このとき、空点にした白石の個数を、（白の）アゲハマと言います。
後手の手番のとき、ある黒石の集合の閉包の境界が、白石の集合の閉包に包含されるようにできたならば、その黒石の集合の点を、すべて空点にすることができます。
これを「黒石を取る」、「黒石を上げる」と言います。
このとき、空点にした黒石の個数を、（黒の）アゲハマと言います。
④ 直前と同じ局面となる手は、禁止します。
⑤ 対戦者が終局を合意したときに終了します。
原則として、空点の集合の閉包の連結成分は、黒石の集合の閉包との共通部分と、白石の集合の閉包との共通部分との、少なくとも一方は空集合となるようにします。
「原則として」としたのは、黒白どちらも着手したがらない空点（セキ）が残る可能性があるからです。
また、対戦者の一方が勝てないと判断して投了する場合もあります。
⑥ 勝敗は、空点の集合の閉包の連結成分の点数（地）とアゲハマの差に「コミ」を加えたものの多寡で判定します。
地（空点の集合の閉包の連結成分）は、黒石の集合の閉包との共通部分が空集合でないときは黒地、白石の集合の閉包との共通部分が空集合でないときは白地とします。
「⑥」については、時代により、国・地域により、微妙に異なりますが、勝敗判定が無いと話にならないので、現代日本のルールを書きました。
「③」についても、「時代により、国・地域により」という補足を。現代日本のルールでは、着手した結果その石が相手に取られる状態になっていたら、反則負けです。
時代により、国・地域により、反則負けとはならず、相手が着手前にその石を取ることができるとするルールもあります。この違いは、「④」の繰り返し禁止規定と絡めると、無意味ではなくなります。
「⑤」についての、位相数学とは関係無い、蛇足的補足。「死活」と「セキ」について。
◎ 死活
現在はまだ盤上にあるけれど、「③」によって取られる運命にある石を、「死に石」と言います。
死に石は、終了時に盤上から取り除き、アゲハマとして扱います。本来なら、黒白交互に打って「③」の状態にして取るべきですが、勝敗判定の計算結果は同じになるので、このようにします。
これに対し、最終的に盤上に残る石を、「活き石」と言います。
◎ セキ
最終的に、黒地でも白地でもない空点が残ることがあり、これを「セキ」と言います。
こうしてみると、「石と石のつながり」は、あまり重要でないようにも見えます。しかし、実際には重要であるという、次の定理が証明できます。
●定理：
囲碁において、同色の石の集合の閉包が連結であるとき、その石のいずれかが取られるなら、その集合の他の石もすべて取られる。
つまり、閉包が連結な石は、運命共同体であると言うことができます。
証明については、「明らか」としておきましょう。ちなみに「明らか」とは、「証明するのはかなり面倒なので、証明を記述しない」という意味の数学用語であると、聞いたことがあります。
囲碁の定理では、「多くの人にルールの一つだと思われている」と言われている、重要な定理「二眼あれば活き」があります。
この定理について述べるにあたって、この定理で使用されている用語「眼（メ）」について定義したいのですが、その準備として、「眼候補」を定義したいと思います。
この「眼候補」という言葉は、平石が考え出した用語なので、他では使われていないか、別の意味で使われている可能性があります。
「眼候補」は、次数付きの用語で、“帰納的”に定義します。
●定義：眼候補
単一の空点のみからなる集合の境界が、黒石のみあるいは白石のみからなる集合の閉包の部分集合であるとき、このような空点を、１次の眼候補と呼ぶ。
１以上の自然数ｎに対してｎ次の眼候補が決まったとき、単一の眼候補Ｅのみからなる集合の境界を、黒石のみあるいは白石のみからなるある集合の閉包Ｆが包含し、０個以上の他のｎ次の眼候補をＦに追加すると連結となるとき、眼候補Ｅは（ｎ＋１）次の眼候補であると言う。
次は、カケメです。カケメは普通、次数付きの用語ではないですが、眼候補に対する語として、次数付きの定義とします。
●定義：カケメ（欠け目、欠け眼）
１以上の自然数ｎに対してｎ次の眼候補であって、（ｎ＋１）次の眼候補でないものを、ｎ次のカケメ（欠け目、欠け眼）、あるいは単にカケメと言う。
●定義：メ（眼）
１以上のある自然数ｎについて、ｎ次のカケメが存在しないとき、ｎ次の眼候補をメ（眼）と言う。
上図の①、②、③は、白石ではなく、空点です。
これらは、①が１次の欠け目、②が２次の欠け目、③が３次の欠け目となっています。
この図の場合、白がこの順に打つと、Ａ～Ｆのすべての黒石が取れます。
黒がそれを防ぐには、①の、相手の打ちたいところに打つのが最善です。
その結果、②と③は、眼になります。
●定理：二眼あれば活き
黒石のみあるいは白石のみからなる集合の閉包に、２つ以上の眼を追加した集合が連結なら、この集合に属する石は、活き石である。
「眼」は「メ」ですが、「二眼」は「ニガン」と読むようです。
以上で、囲碁を位相数学として説明することは終わりにしますが、位相数学と関係ある蛇足をいくつか。
まず、「閉集合」の定義と、その関連定理を。
●定義：閉集合
開集合の、全体集合に対する補集合を、閉集合という。
●定理：
閉集合については、下記のことが言える。これは、開集合の公理の「開集合」を「閉集合」に変え、「任意有限個」と「任意個」を入れ替えたものである。
Ⅰ． 任意有限個の閉集合の和集合は、また、閉集合である。
Ⅱ． 任意個の閉集合の共通部分は、また、閉集合である。
囲碁は有限なので、「任意有限個」と「任意個」を入れ替えても、同じことになります。このことは、「開集合」の代わりに「閉集合」を持ってきても、数学の理論としては、まったく同じようにできることを意味します。
つまり、「石－線－石」の形の集合を開集合の基本とするのではなく、「石とその周りの線」を開集合の基本としても、かまわないということです。ただし、こちらを採用すると、たとえば「閉包」という、位相数学において共通的に定義されている概念でなく、「最小開集合」とでも呼ぶべき、新たな概念を導入する必要が生じます。
囲碁に位相を導入する方法は、他にも多々あります。
盤面は、「平面」という名の位相空間の一部と考えられるので、その位相をそのまま用いることもできます。つまり、「点」は盤面に引かれた線の交点のことで、「線」は隣り合う点と点を結んだ線分のことと考える訳です。
これは、「1次元単体的複体」と呼ばれるものの一つになります。
「開集合による位相数学」と言いながら、あまり「開集合」が出てこなかったような気もします。
位相数学の導入には、開集合からではなく、閉包から入る方法もあります。
ただし、平石はちゃんと教わったはずなのに、その閉包から入る方法をすっかり忘れているので、その方法は避けることにしました。インターネットを検索すれば、それらしいことはかなりヒットしますが、インターネットは嘘ばかりなので、その真偽をチェックするのが面倒だというのが本当のところです。
さらに蛇足。ものの本によると、ノーベル賞受賞者のポール・ディラックという人は、囲碁にはまってしまったのだが、誰と対戦しても負ける。そこで、「碁盤が長方形なのがいけない」と言い出し、円筒形とかドーナツ形とかのいろいろな碁盤を考えて、その碁盤で対戦したとか。しかし、ディラックが考えた碁盤で碁を打つと、必ずディラックが負けたとのことです。
もしかしたら、こんなことを考えて、新たな形の碁盤を考え出せば、いつか、勝てるようになるかもしれません。