「ナポレオンの定理」の証明を
正六角形のアフィン変形を
利用して行う
「シンメトリー」（Hans Walser原著、蟹江幸弘訳 ISBN4-535-78381-0 C3041）という本の「問題の答」の「解答４.６.」に、「正ｎ角形が、アフィン変形された正ｎ角形の各辺上に立てられていれば、その中心はまた正ｎ角形をなすというナポレオン―バルロッティの定理」という記述があった。
これを読んで、大いに闘志が湧き、この証明に挑戦してみた。そして、ｎ＝３、４、６のときは証明できた。しかし、ｎの値が５、７など他の数のときの証明も、一般的な証明も、今のところ、得られていない。これは私の力不足によるものである。
ところが、ｎ＝６のときの証明を見ながら、５や７に思いを馳せるのでなく、６の約数の３に思いを馳せてしまったのである。と同時に、もしかしたら、あるｎについて証明できたら、その約数と倍数について証明できるのではないかという思いが浮かんできた（バルロッティはすべての正ｎ角形について証明したわけだから、約数とか倍数とか関係なく証明できるはずなのだが）。そしてもちろん、それもいまだに証明できていない。
ただし、ｎ＝６のときが証明できれば、ｎ＝３のときはそこから“簡単に”証明できることは、簡単に分かった。
１．アフィン変形とは
ところで、ここにある「アフィン変形」とは何なのかの説明が必要である（念のためネット検索してみたところ、アフィン変形を説明したサイトはいくつかあったが、アフィン変形が何なのかが分かるようなサイトは見当たらなかった）。
私の認識では、アフィン変形とは「『直線を直線に』をスローガンとする変形」である。これは私の認識であるので間違っているかもしれないが、中らずと言えども遠からずであろう。
「直線を直線に」なので、２直線はアフィン変形すると２直線になる。
交わる２直線は交わる２直線になる。なんとなれば、アフィン変形した結果が交わらないと、交点の行き場に困ってしまうから。
平行２直線は平行２直線になる。なんとなれば、アフィン変形した結果が交わってしまうと、その交点がどこから降って湧いたか悩んでしまうから。
したがって、平行四辺形は平行四辺形になる。そして平行四辺形の対辺は等しい（同じ長さである）から、平行２直線上の等しい線分は、アフィン変形後も等しい。
３直線は、やはり３直線になる。そして、１点で交わる３直線は、やはり１点で交わる３直線になる。等々。
２．正６角形のアフィン変形
正６角形は、３対の平行辺を持つ。平行線はアフィン変形後も平行なので、アフィン変形後の正６角形も、３対の平行辺を持つ。そして、平行辺は互いに等しい。
正６角形のある頂点から反対側の頂点に引いた対角線は３本あるが、いずれも正６角形の中心を通る。したがって、アフィン変形後も「中心」と呼ぶべき点があって、ある頂点から反対側の頂点への対角線は、すべてこの点を通る。
正６角形の中心と１つの頂点を結んだ直線は、その頂点の隣の頂点と、さらにその向こう隣の頂点とを結ぶ辺と平行である。したがって、アフィン変形後の正６角形においても、「中心」と１つの頂点とを結んだ直線は、その頂点の隣の頂点と、さらにその向こう隣の頂点とを結ぶ辺と平行である。
という訳で、アフィン変形した正６角形は、上図のような感じになる。言葉で説明しようとするとややこしくなるので、平行な線分は同じ色で示した。
点線で示したものは、「正６角形のある頂点から反対側の頂点に引いた対角線」である。これらが「中心」を通ることが分かるだろう。
（「再描画」をクリックすると、乱数を用いて少し異なる図を描画します。関連する５つの図、つまり「蛇足」以外のすべての図が同期して再描画されます。）
３．アフィン変形した正６角形の各辺上に正６角形を立てたいが
次は、この、アフィン変形した正６角形の各辺上に正６角形を立てる訳であるが、まともにやると、かなりややこしい図になってしまう。
ところが、問題となっているのは正６角形そのものではなく、その中心である。なので、正６角形を作図するのではなく、その中心を作図することにする。
よく知られているように、正６角形の中心は、その辺を１辺とする正三角形の頂点である。そこで、正６角形を立てるのでなく、正三角形を立てる。そして、その中心ではなく、頂点を作図する。
上図では、アフィン変形後に平行な辺と、その辺の上に立つ正三角形の辺は同じ色にした。
これに、補助線的なものを描き加えたものが下図である。
この図で、同じ色を塗った三角形（４つずつ３組ある）は、いずれも２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、互いに合同である。
そのことから、アフィン変形した正６角形の中心と、その辺の上に立つ正三角形の頂点とを結んだ線分が、すべて等しいことが分かる。
また、これらの線分のなす角が、正三角形の一つの内角と等しいことも分かる。
これらのことから、アフィン変形した正６角形の辺の上に立つ正三角形の頂点、すなわちアフィン変形した正６角形の辺の上に立つ正６角形の中心は正６角形をなすことが言える。
４．ナポレオンの定理
ｎ＝６のときの「ナポレオン―バルロッティの定理」が言えたので、本題のナポレオンの定理、つまりｎ＝３のとき、三角形のときの話に進む。
三角形の３つの辺の３等分点を結ぶと、その内部にアフィン変形した正６角形が現れる（下図）。しかも、この6角形の「中心」は三角形の重心に一致する。
さらに、三角形の３つの辺の上に正三角形を立て、それらも辺の3等分点を結ぶ。
すると、正三角形の内部に正6角形が現れる。
このとき、元の三角形の辺とその上に立つ正三角形の辺は等しいので、3等分したものも等しい。そんな訳で、「三角形の内部に現れた6角形について。その辺の上に立てた正6角形」と、「三角形の辺の上に立つ正三角形の内部に現れた正6角形」は一致する。
したがって、これらの正６角形は、ｎ＝６のときの「ナポレオン―バルロッティの定理」における、辺の上に立てた正６角形を一つ置きに並べたものになる。
その中心を結べば、結果の正６角形の頂点を一つ置きに結んだものなので、正三角形になる。正三角形の内部に現れた正６角形の中心は正三角形の中心に一致するので、ｎ＝３のときの定理が言える。
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５．蛇足
ｎ＝４のときの「ナポレオン―バルロッティの定理」の証明についても、書いておきたい。
アフィン変形の「平行２直線は平行２直線になる。」という性質は、ｎ＝４、すなわち正方形でも変わらない。だから平行四辺形の一種である正方形は、アフィン変形すると平行四辺形になる。
つまり、平行四辺形の各辺の上に正方形を立てた場合を考えればよい。
この平行四辺形が長方形であるときは、ほとんど明らかなので、長方形であるケースは略すことにする。
上図で、色を塗った三角形は、２辺とその間の角が等しいことが言え、すべて互いに合同であることが示せる。
したがって、平行四辺形の隣り合う辺の上に立てた正方形の中心を結んだ線分は、すべて等しいし、そのなす角はすべて直角である。ゆえにこれらは正方形をなす。
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