ナポレオンの定理とその周辺
（ちょっと変わった証明法）
「ナポレオンの定理（The Theorem
of Napoléon Bonaparte）」とは、下記の定理１である。
ナポレオンという名がついているのは、ナポレオン・ボナパルトという数学者が発見したからだという説がある。「ボナパルトの定理」でなく「ナポレオンの定理」なのは、その数学者が皇帝などというものになってしまったかららしい。
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定理１ があるとき、その各辺の外側の上に立つ の を結んでできる三角形は、正三角形である。 ただし、「各辺の外側の上に立つ」とは、
は
に関して
の反対側、
は
に関して
の反対側、
は
に関して
の反対側に採るということである。 |
「各辺の外側」の代わりに、「各辺の内側」としても、同様な結果が得られる。
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定理１’ があるとき、その各辺の内側の上に立つ の を結んでできる三角形は、正三角形である。 ただし、「各辺の内側の上に立つ」とは、
は
に関して
と同じ側、
は
に関して
と同じ側、
は
に関して
と同じ側に採るということである。 |
「 の各辺の内側」と言っても、必ずしも の内部とは限らないことを指摘しておく。
たとえば上図のように、 が より小さければ、 および は、 の外部にある。
また、
が正三角形の場合は、
は、すべて同一の点になり、このようなものも三角形と呼ぶなら、
は、すべての辺の長さが０の三角形となる。あるいは、
を結んでできる三角形は、
と言うよりも、
と言うべきか。
このたび、この定理のちょっと変わった証明法を複数思いついたので、ここに記しておくことにしたい。
平面上の点の位置を３行の縦ベクトルを用いて表し、点→点の移動（複写）、拡大・縮小等を３次正方行列を用いて表すことにする。
そして、これらの間の演算を適切に定義すると、ナポレオンの定理が証明できてしまうことを示す。
その２：正六角形のアフィン変形を利用
ナポレオンの定理は三角形についての定理であるが、四角形以上の多角形についても、「正多角形をアフィン変形したもの」という条件を付ければ、同様の命題が成り立つらしい。
そして、六角形についてこれが成り立てば、頂点を１つ置きに採ることによって、三角形の話になり、結果としてナポレオンの定理が証明できる。
いったん六角形の話にするので、ものすごく遠回りにはなるが。
