【問３】で（ｎ＋Ｄ）！／（ｎ！・Ｄ！）個の点が配置できること
【問３】の条件で、（ｎ＋D）！／（ｎ！・D！）個の点が配置できることを、（Ｄ＋１）次元ユークリッド空間を考えることによって示す。
（Ｄ＋１）次元ユークリッド空間における、正規直交座標系の各座標軸上の１／（√２）の点（全部でＤ＋１個ある）を通るＤ次元超平面の、どの座標値も負でない点全体は、一辺が１のＤ次元正三角錐となる。しかし、いちいち「√」などを書くのはわずらわしいので、（ｎ√２）倍して、各座標軸のｎの点を頂点とするＤ次元正三角錐を考える。この正三角錐の点の座標は、座標値を合計するとｎになっている。
この、一辺が（ｎ√２）の正三角錐の点で、座標値が整数のものを考え、その位置に点を配置すれば、（１／（ｎ√２）倍して）条件に合った配置となることを示せばよい。
まず、距離を考える。
異なる２点間の距離の２乗は、ピュタゴラスの定理を用いて、対応する座標値の差の平方の和であることが分かる（と言うか、これをＤ次元ユークリッド空間の距離の定義とするのが普通である。「２乗」と書いたり「平方」と書いたり不統一だが、私の感覚ではこうなる）。
ここで、配置された２点間の距離の２乗を考える。
異なる２点を考えているので、少なくとも１つの座標値は異なる。しかも整数なので、その差は１以上であり、その平方も１以上である。
また、「座標値を合計するとｎになっている。」という条件があるので、さらに少なくとも１つ、座標値が異なっている。もちろん、その差も１以上、その平方も１以上である。
したがって、平方の和は、２以上になる。このことから、距離は√２以上であることが分かる。
（ｎ√２）倍していたので、本来の距離にすれば、１／ｎ以上となる。
次に、配置された点の個数を数える。
これが（ｎ＋D）！／（ｎ！・D！）個となることは、数学的帰納法を２重に適用することによって明らかとなる。
Ｑ．Ｅ．Ｄ．■
ちなみに、（ｎ＋D）！／（ｎ！・D！）は、組み合わせの記号を用いて、（ｎ＋D）Ｃｎ、（ｎ＋D）ＣＤなどと表せる。しかし、今のところ、私には組み合わせ論とのかかわりは、これ以上分からない。
Ｄについての数学的帰納法を用いて示すことも考えたが、文章にしたり図解したりすると、意外と大変なのでやめた。しかし、せっかく考えかけたことなので、途中まで書いたり描いたりしたものを、ここに残しておく。
Ⅰ．まず、D＝１なら、すべてのｎで成り立つことを示す。
Ⅱ．次に、Ｄ＝ｋで成り立つなら、Ｄ＝ｋ＋１でも、すべてのｎで成り立つことを示す。
Ⅲ．上記Ⅰ．、Ⅱ．により、すべてのＤについて、すべてのｎで成り立つことが言える。
Ⅰ．まず、D＝１なら、すべてのｎで成り立つことを示す
Ｄ＝１ということは、長さ１の線分ということである。
１／ｎ分点、すなわち、一方の端点から、０／ｎ、１／ｎ、２／ｎ、…、（ｎ－１）／ｎ、ｎ／ｎの距離の位置に配置すれば、隣の点までの距離は１／ｎ、それ以外の点までの距離はその倍数なので、いずれも１／ｎ以上となる。
このときの点の個数は、ｎ＋１である。これは、（ｎ＋１）！／（ｎ！・１！）に一致する。
Ⅱ．次に、Ｄ＝ｋで成り立つなら、Ｄ＝ｋ＋１でも、すべてのｎで成り立つことを示す
（ｋ＋１）次元正三角錐の、1頂点とその対面との間をｎ等分する。ｎ個のブロックができるが、その各ブロックの底面は、ｋ次元正三角錐である。その、頂点側から数えてｐ番目のものの、「１／ｐ分点」に配置する。「１／ｐ分点」とは、このようにして決めた点のことである。ｋ次元ではこのようにしてすでに決まっているので、（ｋ＋１）次元で、このようにして決めることができる。
これらの底面内の各点間の距離は、高々１／ｎであることはすぐ分かる。
異なる底面にある２点間は、…ここで挫折しました。