閉正三角形への点の配置について
|
【問１】 一辺の長さが１である閉正三角形を考える。「閉」とあるのは、その頂点および辺上の点も含めるということである。 この閉正三角形内に、ｋ（≧２）個の点を配置して、互いの距離が１／ｎ（ｎ≧１）以上になるようにする。 ｋの最大値はいくつか。 |
です。
この問題は、神無太郎氏の、２００５年の正月問題（http://homepage1.nifty.com/kamina/pub/prize/17q.htm）について考える過程で生まれたものです（これの解答は、KAMINA
PUBLICATIONSの「懸賞１７」の「解答」を見てください。この中の「2005年2月11日追記」とあるところには、この問題に至る過程で神無氏に宛てたメールの内容がそのまま載っています）。
なお、「互いの距離」の分母は「ｎ」です。分母を「ｎ−１」とすると、いろいろな数式が簡単になりますが、別の数式が複雑になるので、「ｎ」とします。
このページを最初にアップしたときには「ｎ」、次にアップしたときには「ｎ−１」としてしまいました。お詫びして訂正いたします。
この変形として、「以上」を「より大」に変えた問題が考えられます。
|
【問２】 一辺の長さが１である閉正三角形を考える。「閉」とあるのは、その頂点および辺上の点も含めるということである。 この閉正三角形内に、ｋ（≧２）個の点を配置して、互いの距離が１／ｎ（ｎ＞１）より大になるようにする。 ｋの最大値はいくつか。 |
【問２】では、ｎ≦１の場合は解が考えられないので、除くことにしました。もっとも、これを閉正三角形の周を１／（２ｎ）ずつ広げて、直径が１／ｎの円を互いに接触しないように詰め込む問題とすれば考えられなくもないですが。
また、高次元に一般化した問題も考えられます（元の問題が４次元ですから当然ですね）。
|
【問３】 一辺の長さが１であるＤ次元閉正三角錘を考える。「閉」とあるのは、その頂点、辺などの周上の点も含めるということである。 この閉正三角錘内に、ｋ（≧２）個の点を配置して、互いの距離が１／ｎ（ｎ≧１）以上になるようにする。 ｋの最大値はいくつか。 |
|
【問４】 一辺の長さが１であるＤ次元閉正三角錘を考える。「閉」とあるのは、その頂点、辺などの周上の点も含めるということである。 この閉正三角錘内に、ｋ（≧２）個の点を配置して、互いの距離が１／ｎ（ｎ＞１）より大になるようにする。 ｋの最大値はいくつか。 |
【問１】【問２】は、【問３】【問４】の次元Ｄが２である場合です。
ちなみに、「１次元正三角錐」は、閉線分のことです。
【問１】の答えは、「（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２」、【問２】の答えは、「ｎ（ｎ＋１）／２」ではなく「（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２−２」だと思われますが、今のところ、私はその証明を見つけていません。
【問３】は、「（ｎ＋Ｄ）！／（ｎ！・Ｄ！）」、【問４】は「（ｎ＋Ｄ−１）！／（（ｎ−１）！・Ｄ！）」ではなく「（ｎ＋Ｄ）！／（ｎ！・Ｄ！）−Ｄ」なのではなかろうかと考えています。
このページを最初にアップしたとき、【問２】と【問４】について、明らかに誤った数式を書いてしまいました。お詫びして訂正いたします。
たとえば、【問２】でｎ＝２のとき、各頂点と中心に配置すれば、４点で「互いの距離が１／２より大」を実現でき、５点以上では不可能です。また、ｎ＝３では、各頂点に１点ずつと、内部に５点を上手に配置すれば、８点で「互いの距離が１／３より大」を実現でき、９点以上では不可能です。ｎ＝４では、１３点で「互いの距離が１／４より大」が実現でき、１４点では不可能なことが証明できます（当初、「証明できません」としていましたが、その後、証明できることが分かりました：２００６年１０月５日）。【問１】でｎ＝１なら３点、ｎ＝２なら６点、ｎ＝３なら１０点、ｎ＝４なら１５点となることは証明できます。ｎ＝５では、２１点を超えて配置することが不可能なことの証明ができていません。
【問３】で、（ｎ＋Ｄ）！／（ｎ！・Ｄ！）個の点が配置できること
したがって、【問１】では、（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の点が配置できることになります。
「最大値」を言うには、さらに「（ｎ＋Ｄ）！／（ｎ！・Ｄ！）個より多くの点は配置できない」を示す必要がありますが、それは下記のリンクを見てください。
【問４】で、（（ｎ＋Ｄ）！／（ｎ！・Ｄ！）−Ｄ）個の点が配置できることも言えそうですが、確信が無いので検討とします。
当たり前かもしれませんが、基本的だと思われるので、ちゃんと別葉で証明（と言うほどのものではありませんが）を示しておきます。
同上。
これで、Ｄ＝１のときと、ｎ＝１のときが言えたので、数学的帰納法で全部言えそうですが、言えてません。
【問１】【問２】の、ｎが小さいときの解と検討
Ø ｎの値にかかわらず言えること、その他関係ありそうなことがら
Ø ｎ＝２（完全）
Ø ｎ＝３（完全）
Ø ｎ＝４（完全）（当初「【問１】の解および【問２】の検討」としていました）