万華鏡？の絢爛

あたかも野間美由紀の作品のタイトルのようですが、無関係です。紛らわしいことを書いてしまって、ごめんなさい。

万華鏡は、筒の中に複数の鏡を入れ、それらの鏡に映ったものが別の鏡に映り、それがまた別の鏡に映り…と、無数の映像が美しく広がるのを楽しむものです。

ここでは、鏡に見立てた複数の直線あるいは平面による対称変換で、どんなことが起こるかを楽しみたいと思います。

これは幾何学的な話なので証明は重要ですが、なるべく楽しむことに専念して、あまり厳密な証明にはこだわらないことにしたいと考えています。

１．鏡が２枚のとき

たとえば、次の命題です。

【命題１】

直線ＡＢ、ＡＣと、直線ＢＣ、直線ＢＣ上の点Ｐがあり、点Ａ≠点Ｐ、直線ＡＢ≠直線ＡＣとする。

さらに、点Ｐの直線ＡＢに関して対称な点をＣ’、点Ｐの直線ＡＣに関して対称な点をＢ’、直線ＢＣの直線ＡＢに関して対称な直線をＰ’Ｃ’、直線ＢＣの直線ＡＣに関して対称な直線をＰ’Ｂ’とする。点Ｐ’は直線Ｐ’Ｃ’と直線Ｐ’Ｂ’の交点である。

このとき、点Ａ、Ｂ’、Ｃ’、Ｐ’は、同一円周上にある。

図の、太めに描いた直線が、鏡に見立てた直線です。

別々の鏡に映った像が、無関係ではなくて、鏡と鏡の合わせ目の点、直線の像どうしの交点を含めて、同一円周上にあるということが、とても面白いと思います。

ちなみに、補助線として直線ＡＰを引き、∠ＡＰＢ＝∠ＡＣ’Ｂ、∠ＡＰＣ＝∠ＡＢ’Ｃなので、∠ＡＣ’Ｂ＋∠ＡＢ’Ｃ＝２∠Ｒから、この命題が正しいことが分かります。

ただし、厳密に証明するには、∠ＢＡＣの角度と点Ｐの位置とで場合分けしないといけないでしょう。

特に、∠ＢＡＣが直角のときは、点Ｐ’は存在せず、点Ａ、Ｂ’、Ｃ’は同一直線上になります。

「円」は「広義の円」のことであり、点Ｐ’は無限遠点でも良いと考えることにすれば、∠ＢＡＣが直角でも、この命題は成り立ちます。

万華鏡は通常、筒を回して鏡が動いたり鏡に映る対象が動いたりする結果、その像が変化することも、楽しみます。

そこで、上記命題の点Ｐや直線ＢＣが動くと、それらの像や円ＡＢ’Ｃ’Ｐ’が、どのように変化するか見てみましょう。

図が動くとよいのですが、私の技術力（他人の技術の購入力を含む）の不足により、図を動かすことができないことをご了承ください。

まず、直線ＢＣはそのままで、点Ｐを直線ＢＣ上で動かしてみます。

直線ＢＣを動かさないので、その鏡映像である直線Ｐ’Ｂ’、直線Ｐ’Ｃ’は、動きません。したがって、その交点Ｐ’も不動です。

しかし、点Ｐは動くので、その鏡映像である点Ｂ’、Ｃ’は動き、円ＡＢ’Ｃ’Ｐ’もそれに応じて動きます。ただし、円上の点Ａ、Ｐ’は動かないので、この２点で拘束されています。

点Ｐが右に動けば円ＡＢ’Ｃ’Ｐ’は左に、点Ｐが左に動けば円ＡＢ’Ｃ’Ｐ’は右に動いて、点Ｐが鏡ＡＢの点Ｂまで移動すると、点ＢとＣ’は一致し、円の中心は鏡ＡＣ上の点となります。

このとき、円ＡＢ’Ｃ’Ｐ’と鏡ＡＣの交点のうち点Ａでない方をＤとすれば、∠ＢＡＤ＝∠Ｒです。

では、点Ｐは動かさず、直線ＢＣを点Ｐを中心として回転させるとどうなるでしょうか。

点Ｐを動かさないので、その鏡像である点Ｂ’、Ｃ’は動きません。したがって、円ＡＢ’Ｃ’Ｐ’も不動です。

しかし、直線ＢＣは動くので、その鏡映像である直線Ｐ’Ｂ’、Ｐ’Ｃ’も動き、その交点Ｐ’もそれに応じて動きます。ただし、動かない円ＡＢ’Ｃ’Ｐ’の周上に拘束されています。

直線ＢＣが時計回りに回転すれば点Ｐ’は反時計回りに、直線ＢＣが反時計回りに回転すれば点Ｐ’は時計回りに回転し、点Ａを通る位置まで回転すると、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｐ’は一致します。

また、直線ＢＣが鏡ＡＢに垂直になるまで回転すると、点ＣとＰ’は一致します。

直線ＢＣを決めると点Ｐ’が決まりました。では逆に、点Ｐ’を決めたら、直線ＢＣが決まるでしょうか。

点Ｐ’の、鏡ＡＢ、ＡＣによる像を、Ｃ’’、Ｂ’’としたとき、直線Ｂ’’Ｃ’’が、求める直線であることがわかります。

点Ｐを決めると、円ＡＢ’Ｃ’Ｐ’が決まりました。では逆に、点Ａを通る円を決めたら、点Ｐが決まるでしょうか。

この円の、鏡ＡＢ、ＡＣによる像の円の交点のうち、点Ａでない方が、求める点であることがわかります。

長々と書いてきましたが、「点Ｐ⇔直線ＢＣ」と言葉を入れ替えると、「円ＡＢ’Ｃ’Ｐ’⇔点Ｐ’」と入れ替わるのがおもしろいと思いませんか？。

２．鏡が３枚で三角形のとき

次は、鏡を３枚にしてみます。

鏡を３枚使うと通常は三角形になるので「三角形」という用語を使用することにします。角ではなく辺を問題にしているので、「三辺形」と呼ぶべきかもしれませんが、一般的な用語である「三角形」を用いることとします。

実は、命題１と同様、点と直線との両方を同時に扱いたいのですが、文章がややこしくなるので、別々にします。

まず、点に関する命題。

【命題２】

三角形ＡＢＣと、点Ｐがあり、点Ｐ≠点Ａ、Ｂ、Ｃとする。

さらに、点Ｐの直線ＢＣに関して対称な点をＡ’、点Ｐの直線ＣＡに関して対称な点をＢ’、点Ｐの直線ＡＢに関して対称な点をＣ’とする。

このとき、

�@　円ＡＢＣ、円ＡＢ’Ｃ’、円Ａ’ＢＣ’、円Ａ’Ｂ’Ｃは、共有点Ｐ’を持つ。

�A　円Ａ’Ｂ’Ｃ’、円Ａ’ＢＣ、円ＡＢ’Ｃ、円ＡＢＣ’は、共有点Ｐ’’を持つ。

点Ｐがこの三角形の外接円ＡＢＣ上にあるときは、共有点Ｐ’’は、この三角形の垂心と一致する。

また、点Ｐがこの三角形の垂心であるときは、�@の４つの円と�Aの4つの円、計８つの円は、すべて一致する。

この命題における�@と�Aの違いは、「’」です。というか、そうなるように点のネーミングを決めました。

次は、直線に関する命題です。

実は、私が上記の命題２の�@を証明（自分で納得）するのに、この命題３の�@を用いました。

命題２の�Aの証明は、点Ｐを中心とする適当な円に関する反転を用いましたが、もっとうまい証明法があるかもしれません。

【命題３】

三角形ＡＢＣと、直線ｌがあり、直線ｌ≠直線ＢＣ、ＣＡ、ＡＢとする。

さらに、直線ｌの直線ＢＣに関して対称な直線をｌＡ、直線ｌの直線ＣＡに関して対称な直線をｌＢ、直線ｌの直線ＡＢに関して対称な直線をｌＣとする。

このとき、

�@　直線ｌが、この三角形ＡＢＣの垂心Ｈを通るならば、直線ｌＡ、直線ｌＢ、直線ｌＣと、三角形ＡＢＣの外接円は、共有点Ｐ’を持つ。

�A　直線ｌが、この三角形ＡＢＣの垂心Ｈを通らなければ、直線ｌに平行で垂心を通る直線を引き、この直線について上記�@の共有点を求めると、直線ｌＡ、直線ｌＢ、直線ｌＣは、その点から等距離にある。この距離は、直線ｌと垂心との距離に一致する。

この命題３の�Aは、ほとんど第52回国際数学オリンピックの問題6の解説のパクリになってしまいましたが、私のオリジナルの部分もあるので許してください。

命題３の�@は、命題１と「三角形の垂心の辺に関する対称点は外接円上にある」という事実から導くことができます。

また命題３の�Aは、直線を平行移動させれば、その直線と対称な直線も同じだけ平行移動するので、明らかです。

なお、垂心Ｈを通る直線ｌ上に点Ｐを採り、命題２の点Ｐとすると、命題１の点Ｐ’と命題２のＰ’は、同じ点になります。

かかわりの深い定理として、下記の「シュタイナーの定理」があります。

【定理】（シュタイナー）

三角形ＡＢＣと、その外接円上の点Ｐがあるとする。

点Ｐの直線ＢＣに関して対称な点をＡ’、点Ｐの直線ＣＡに関して対称な点をＢ’、点Ｐの直線ＡＢに関して対称な点をＣ’とすると、点Ａ’、Ｂ’、Ｃ’および、三角形ＡＢＣの垂心Ｈの４点は、同一直線上にある（この直線は、点Ｐのシュタイナー線と呼ばれる）。

この定理の仮定部は、命題２で「点Ｐが外接円上」という条件を追加したもの、つまり、命題２の�Aの２行目です。

このとき「円Ａ’Ｂ’Ｃ’」は、実は直線だというのが、この定理です。命題２の�@に関しては、この条件のときの特別なことは、見つけていません。

また、命題３の�@の点Ｐ’のシュタイナー線は、直線ｌとなります。

シュタイナーの定理の証明は、直線Ａ’Ｈを命題３における直線ｌとして点Ｐ’を求めると点Ｐとなること、命題３における直線ｌＢを直線ＣＡで折り返すと直線ｌとなり、点Ｂ’が直線ｌ上にあることが示せることなどを利用してできます。

さらに、鏡が三角形になっていると、その三角形が鏡に映ったものについても論ずることができます。

【命題４】

三角形ＡＢＣがあるとする。

三角形ＡＢＣの辺ＢＣに関する鏡像の外心をＯＡ、三角形ＡＢＣの辺ＣＡに関する鏡像の外心をＯＢ、三角形ＡＢＣの辺ＡＢに関する鏡像の外心をＯＣとすると、三角形ＯＡＯＢＯＣは、三角形ＡＢＣと相似である。

「三角形ＡＢＣの外心の辺ＢＣに関して対称な点をＯＡ」としても同じことですが、「三角形が鏡に映ったものについて論ずる」と強弁したかったので、このようにしました。

また、相似比が１なのに「合同である」とせずに「相似である」と書いたのは、ちょっとした下心があったのです。

三角形Ａ’ＢＣ等は、三角形ＡＢＣの鏡像でなくても、△Ａ’ＢＣ∝ＡＢ’Ｃ∝△ＡＢＣ’という関係があれば、△ＯＡＯＢＯＣ∝△Ａ’ＢＣが言えるので、その特別な場合と考えられるからです。

このことは、２∠ＢＡ’Ｃ＝∠ＢＯＡＣ＝２∠ＯＣＯＡＯＢ、∴∠ＢＡ’Ｃ＝∠ＯＣＯＡＯＢ、等からわかります。

「万華鏡」からは離れますが、「特別な場合」は、他にもあります。△Ａ’ＢＣが正三角形となるのがその例です。この、正三角形の場合は「ナポレオンの定理」と呼ばれています。それは、フランスの数学者ナポレオン・ボナパルトが証明したからだと言われています。「ボナパルトの定理」とは呼ばれないのは、彼が皇帝になってしまったからだと思われます。

なお、この命題４の条件のとき、三角形ＯＡＯＢＯＣの外心は三角形ＡＢＣの垂心、三角形ＯＡＯＢＯＣの垂心は三角形ＡＢＣの外心であることがわかります。

一般化した、△Ａ’ＢＣ∝ＡＢ’Ｃ∝△ＡＢＣ’のときは、必ずしも、外心と垂心の、このような対応は成り立ちません。

特に、△Ａ’ＢＣ∝が正三角形のときは、三角形ＯＡＯＢＯＣの外心は三角形ＡＢＣのフェルマー点とかトリチェリ点とか呼ばれる点ではなく重心となります。

では、命題２の�@で、点Ｐを動かしてみましょう。

点Ｐを三角形ＡＢＣの垂心Ｈを通る直線上を動かすと、点Ａ’、Ｂ’、Ｃ’も動き、円ＡＢ’Ｃ’、円Ａ’ＢＣ’、円Ａ’Ｂ’Ｃも動くのに、点Ｐ’は動きません。このことは、命題１で、点Ｐを直線ＢＣ上のどこに動かしても点Ｐ’は不動であることに対応しています。

このとき、点Ｐ’は不動ですが、点Ｐ’’は動きます。どのような動き方をするかは、今のところ、よくわかりません。案外単純な動きかもしれないし、恐ろしく複雑な動きかもしれません。

点Ｐを三角形ＡＢＣの垂心Ｈを中心とする円上を動かすと、点Ａ’、Ｂ’、Ｃ’も、円ＡＢ’Ｃ’、円Ａ’ＢＣ’、円Ａ’Ｂ’Ｃも、点Ｐ’も動きます。ただし、点Ｐ’は常に外接円ＡＢＣ上です。そして、点Ｐ’は点Ｐの、角度で測ってちょうど２倍のスピードで動きます。つまり、点Ｐが１回転すると、点Ｐ’は２回転します。点Ｐが半回転すると、直線ＰＨは元の直線と重なりますが、このとき点Ｐ’も元の点と重なる訳です。

命題３の�@の直線ｌを、垂心Ｈを中心にして回転させると、これに準じた動きになります。やはり、直線ｌが半回転して元の直線と重なると、点Ｐ’も元の点と重なります。

ところで、３枚の鏡は、三角形にならない配置もあり得ます。次はそのようなものを考えます。

３．鏡が３枚で一点で交わるとき

そのような万華鏡は実在しないかもしれませんが、幾何学的にはあり得ます。

【命題５】

互いに異なる３直線ｌＡ、ｌＢ、ｌＣがあり、点Ｈを共有しているとする。

直線ｌＡと直行する直線ＢＣを引き、直線ｌＢ、ｌＣとの交点を、Ｂ、Ｃとする。

さらに、点Ｂを通って直線ｌＣに垂線を下し、これと直線ｌＡとの交点をＡとする。

点Ｈ以外の点Ｐを採り、直線ｌＡに関して対称な点をＡ’、直線ｌＢに関して対称な点をＢ’、直線ｌＣに関して対称な点をＣ’とすると、円ＨＡＡ’、円ＨＢＢ’、円ＨＣＣ’は、点Ｈ以外の共有点Ｐ’を持つ。

この、命題５と命題２の�Aを組み合わせると、驚きの結果が得られます。

三角形ＨＢＣに対して、命題２の�Aを適用すると、４つの円とその共有点が得られますが、そのうちの２円は円ＨＢＢ’、円ＨＣＣ’なので、その命題２の�Aにおける共有点Ｐ’’は、実は、命題５の共有点Ｐ’だとわかります。

三角形ＨＣＡ、三角形ＨＡＢについても命題２の�Aを適用することによって、７つもの円が、同一の点を共有することがわかります。

この共有点Ｐ’については、さらに、「命題５の点Ｐ’とＡ’を結んだ直線Ｐ’Ａ’と直線ｌＡとの交点をＡ’’、点Ｐ’とＢ’を結んだ直線Ｐ’Ｂ’と直線ｌＢとの交点をＢ’’、点Ｐ’とＣ’を結んだ直線Ｐ’Ｃ’と直線ｌＣとの交点をＣ’’とすると、点Ａ’’、Ｂ’’、Ｃ’’は、同一直線上にあるのではないか。」というようなことも考えています。これは今のところ、証明の手がかりも、反例らしきものも見つかっていません。

この命題５を拡張することができます。ただし、残念ながら、この拡張によっては、上記の「驚きの結果」は拡張できないです。

【命題５’】

互いに異なる３直線ｌＡ、ｌＢ、ｌＣがあり、点Ｈを共有しているとする。

直線ｌＡと直行する直線ＢＣを引き、直線ｌＢ、ｌＣとの交点を、Ｂ、Ｃとする。

さらに、点Ｂを通って直線ｌＣに垂線を下し、これと直線ｌＡとの交点をＡとする。

（以上は命題５と同じ）

三角形ＡＢＣについて、命題４の点ＯＡ、ＯＢ、ＯＣを求め、この３点を中心とする、三角形ＡＢＣの最大辺の半分より大きな半径の、同じ大きさの円を描く。

そして、直線ｌＡと円ＯＡの交点（必ず２つある）を点Ａ１、Ａ２、直線ｌＢと円ＯＢの交点を点Ｂ１、Ｂ２、直線ｌＣと円ＯＣの交点を点Ｃ１、Ｃ２とする。

点Ｈ以外の点Ｐを採り、直線ｌＡに関して対称な点をＡ’、直線ｌＢに関して対称な点をＢ’、直線ｌＣに関して対称な点をＣ’とすると、円Ａ１Ａ２Ａ’、円Ｂ１Ｂ２Ｂ’、円Ｃ１Ｃ２Ｃ’は、共有点Ｐ’を持つ。

ややこしくなったので、命題５’の図の描画は、私の能力を超えてしまいました。ご容赦ください。「同じ大きさの円」の大きさが、三角形ＡＢＣの外接円と同じ場合を考えれば、これが命題５の拡張になっていることがわかると思います。

４．鏡が３次元空間の２あるいは３平面のとき

これは、ごく普通の万華鏡ですね。

でも、上記２．あるいは３．に還元できるケース（つまり鏡がすべて特定の平面に垂直な場合）以外は、ややこしくて、私の能力を超えてしまいます。

そして、実在しないかもしれない、３．に還元できるケースで、特に記述すべきものがあります。

【命題６】

命題５と同様にして、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｈを決める。

点Ｈにおいて、これらの点のある平面に対し垂線を立てる。

この垂線上で、この平面上でない点の一つをＤとする。

直線ＤＨ上に無い点Ｐを採り、点Ｐの平面ＡＤＨに関する対称点をＡ’、平面ＢＤＨに関する対称点をＢ’、平面ＣＤＨに関する対称点をＣ’とすると、球面ＡＡ’ＤＨ、球面ＢＢ’ＤＨ、球面ＣＣ’ＤＨの共通部分は、点ＤおよびＨを通る円となる。

つまり、２次元から３次元にするときに、円→円筒ではなく、円→球とすることができ、点→直線だけでなく、点→直線あるいは円となるのです。

命題６の点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄについて、点Ａから平面ＢＣＤに下した垂線の足ＨＡ、点Ｂから平面ＣＤＡに下した垂線の足ＨＢ、点Ｃから平面ＤＡＢに下した垂線の足ＨＣと、点Ｂ、Ｃ、Ｄは同一球面上にあり、この球は、球ＢＣＤＨ、球ＣＡＤＨ、球ＡＢＤＨと同じサイズです。

平面ＡＡ’Ｂなどによる鏡映を考えることにより、「鏡がすべて特定の平面に垂直な場合」以外のケースも考えられそうですが、前述したとおり、私の脳力を超えています。

５．鏡が３次元空間の３直線のとき

ありえないと考えたくなるケースですが、幾何学的にはありえます（２枚の平面鏡を垂直に組み合わせれば線対称を実現できます）。

命題１の３次元化として、ある平面を、１点を共有する３直線で折り返してできる３平面の共有点のうちの１点、この平面上の点の３直線に関する対称点、この３直線の共有点の５点が同一球面上にあるという命題が得られそうですが、残念ながら、反証があります。

その具体例を示すには、文章で表現するにも図で表現するにも煩わしい例しか思いつかないので、割愛いたします。おおむね「文章で表現するにも図で表現するにも煩わしい例」を考えていただけば、その具体例となっていると思います。