「ナポレオンの定理」の証明を

点を表す縦ベクトルと変換を表す３次正方行列

を用いて行う

 

「不思議おもしろ幾何学事典」（David Wells 原著 ISBN 4-254-11089-8 C3541）という本の、「ナポレオンの定理」の項に、「外側に作る3角形が正3角形である必要性はない。図247のように、三つの3角形が互いに相似で、元の3角形に接していない角がすべて異なり、さらにどれも裏返っていないとき、三つの3角形の対応する点を結ぶとそれらと相似な3角形になるという一般化した定理が成り立つ。」とあった。

 

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この文章の、たとえば「角がすべて異なり」は、正三角形の話の一般化のことなので明らかに不正確であるが、要するに、ナポレオンの定理では「外側に作る 3角形が正3角形である必要性はない」し、その三角形の中心を結ぶ必要もないということである。

この文のうち、「三つの3角形が互いに相似」ということについては、私はすでに知っていた（「万華鏡の絢爛」に書いたような気がする）が、「三つの3角形の対応する点を」というのは知らなかったので、ぜひこれを証明したいと考えていた。しかし、どうしたら証明できるか見当もつかない日が続いていた。

ところがこのたび、突如その証明法を思いついた。以下、その証明法を整理して示す。

 

 １．点の位置の表現

 まず、平面図形を構成する点の位置を、どのように表現するかを決める。

それには、下記に示す、３行の縦ベクトル（１列の行列）を用いる。

 

１

ｘ

ｙ

 

ここで、「１」は定数。「ｘ」および「ｙ」は、正規直交座標系（つまり普通の座標系）における、Ｘ座標およびＹ座標である。

この、定数の「１」を置くところがミソである。

 

α、β、γを実数であるとすると、下記が成り立つ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

１

 

１

 

 

１

 

α＋β＋γ

α

ｘ１

＋

β

ｘ２

＋

γ

ｘ３

＝

αｘ１＋βｘ２＋γｘ３

 

ｙ１

 

ｙ２

 

 

ｙ３

 

αｙ１＋βｙ２＋βｙ３

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ここで、α＋β＋γ＝１であるとすれば（あるいは全体を「α＋β＋γ」で割れば）、右辺の第１行は１となり、このタイプの縦ベクトルとなる。

これは、３点の重み付き重心を表している。

 

２．相似変換行列

次に、「三つの3角形が互いに相似」、「どれも裏返っていない」をどのように表現するかを決める。

今度は、下記に示すような、３次の正方行列を用いる。この形の正方行列を、「相似変換行列」と呼ぶことにしよう。

 

 

 

１ 

 ０ 

 ０

ａ 

 ｃ 

 －ｄ

ｂ 

 ｄ 

 ｃ

 

 

 

やはり、「１」と「０」は定数。「ａ」、「ｂ」、「ｃ」、「ｄ」は、それぞれパラメータで、２行目２列目と３行目３列目の「ｃ」は同じ値、２行目３列目にある「ｄ」と３行目２列目にある「ｄ」は同じ値である。つまり、２行目３列目と３行目２列目は、足して０になる。

特に、ａ＝ｂ＝ｄ＝０、ｃ＝１のとき、この行列は単位行列に一致する。

この正方行列の行列式は なので、マイナスにはならない。０になるのは、ｃ＝ｄ＝０のときだけである。

行列の掛け算の定義により、以下の諸数式が成り立つ。

 

 

 

 

 

 

１ 

 ０ 

 ０

１

 

１

ａ 

 ｃ 

 －ｄ

ｘ

＝

ａ＋ｃｘ－ｄｙ

ｂ 

 ｄ 

 ｃ

ｙ

 

ｂ＋ｄｘ＋ｃｙ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

１ 

 ０ 

 ０

１

 ０ 

 ０

 

１

 ０ 

 ０

ａ１ 

 ｃ１ 

 －ｄ１

ａ２ 

 ｃ２ 

 －ｄ２

＝

ａ１＋ｃ１ａ２－ｄ１ｂ２ 

 ｃ１ｃ２－ｄ１ｄ２ 

 －ｃ１ｄ２－ｄ１ｃ２

ｂ１ 

 ｄ１ 

 ｃ１

ｂ２ 

 ｄ２ 

 ｃ２

 

 ｂ１＋ｄ１ａ２＋ｃ１ｂ２ 

 ｄ１ｃ２＋ｃ１ｄ２ 

 －ｄ１ｄ２＋ｃ１ｃ２

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

この等式の右辺は、 ａ１＋ｃ１ａ２－ｄ１ｂ２）＝ａ、 としてみれば分かるとおり、やはり相似変換行列になっている。つまり、相似変換行列どうしの積は、やはり相似変換行列である。

α、β、γを実数であるとすると、縦ベクトルと同様に、下記が成り立つ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

１

 ０ 

 ０

 

１

 ０ 

 ０

 

 

１

 ０ 

 ０

 

α

ａ１

 ｃ１ 

－ｄ１

＋

β

ａ２

 ｃ２ 

－ｄ２

＋

γ

ａ３

 ｃ３ 

－ｄ３

 

 

ｂ１

 ｄ１ 

 ｃ１

 

ｂ２

 ｄ２ 

 ｃ２

 

 

ｂ３

 ｄ３ 

 ｃ３

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α＋β＋γ

 ０ 

 ０

 

＝

αａ１＋βａ２＋γａ３

αｃ１＋βｃ２＋γｃ３

－αｄ１－βｄ２－γｄ３

 

 

αｂ１＋βｂ２＋βｂ３

αｄ１＋βｄ２＋γｄ３

αｃ１＋βｃ２＋γｃ３

 

 

 

 

 

 

ここで、α＋β＋γ＝１であるとすれば（あるいは全体を「α＋β＋γ」で割れば）、右辺の第１行は１、０、０となり、 として、やはり相似変換行列となる。

 

３．裏返さない相似変換を表現する

さて、この行列を、点の位置を示す縦行列に左から掛けることで、裏返らない相似変換が表せることを示そう。

そのために、まず、２点間の距離が相似変換行列を掛けることによってどうなるかを見よう。

直交座標系では、距離の二乗は座標の差の平方和となる。

２点の正規直交座標を（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２）とする。

 

 

 

 

 

 

１ 

 ０ 

 ０

１

 

１

ａ 

 ｃ 

 －ｄ

ｘ１

＝

ａ＋ｃｘ１－ｄｙ１

ｂ 

 ｄ 

 ｃ

ｙ１

 

ｂ＋ｄｘ１＋ｃｙ１

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

１ 

 ０ 

 ０

１

 

１

ａ 

 ｃ 

 －ｄ

ｘ２

＝

ａ＋ｃｘ２－ｄｙ２

ｂ 

 ｄ 

 ｃ

ｙ２

 

ｂ＋ｄｘ２＋ｃｙ２

 

 

 

 

 

 

座標の差の平方和を計算する。

変換前の値  ＋

変換後の値

＋

＋

＋

＋ ＋ ＋

＋

×

となる。これは、すべての線分の長さが相似変換行列に固有な値（実は行列式の平方根）倍になることを示している。

三角形の各頂点に、同じ相似変換行列による変換を施すと、どの辺も同じ倍率で伸長・収縮するので、結果は相似になる。

なお、 ＝０のときは、すべての辺が０になってしまうが、その場合も相似であると考えることにする。

 

次に、裏返さない相似三角形どうしは、必ず相似変換行列によって移りあうことを示そう。

「裏返さない」とは、 と で、 が時計回りなら も時計回り、一方が反時計回りならもう一方も反時計回りであることである。「向きが同じ」と言うこともある。

と が、裏返さないで相似だとする。そして、 はどの辺も０ではないものとする。

両三角形をそれぞれ平行移動して、 および が座標原点に一致させることができる。平行移動は、下記のような相似変換行列で表すことができる。

 

 

 

１ 

 ０ 

 ０

ａ 

 １ 

 －０

ｂ 

 ０ 

 １

 

 

 

これは、ｃ＝１、ｄ＝０の相似変換行列である。

そこで、 を座標原点（＝ ）を中心として回転させて、 が と一致するようにできる。

座標原点を中心とする回転は、下記のような相似変換行列で表すことができる。

 

 

 

１ 

 ０ 

 ０

０ 

 ｃｏｓθ 

 －ｓｉｎθ

０ 

 ｓｉｎθ 

 ｃｏｓθ

 

 

 

これは、ａ＝０、ｂ＝０、ｃ＝ｃｏｓθ、ｄ＝ｓｉｎθの相似変換行列である。ここに、θは回転角である。

さて、このとき、裏返っていないという条件なので、 も と一致する。

このとき、 と は相似なので、辺の比は一致する。すなわち、

この比をｒとすると（つまり なので、このようなｒは存在する）、座標原点 を中心として  をｒ倍することにより、 と を、 と を一致させることができる。

座標原点を中心とするｒ倍は、下記のような相似変換行列で表すことができる。

 

 

 

１ 

 ０ 

 ０

０ 

 ｒ 

 －０

０ 

 ０ 

 ｒ

 

 

 

これは、ａ＝０、ｂ＝０、ｃ＝ｒ、ｄ＝０の相似変換行列である。

最後に、この を、 があったところまで平行移動させれば、 は にぴったり重なる。

ここまでに、平行移動、座標原点を中心とする回転、座標原点を中心とする定数倍、再度平行移動を行ったが、いずれも相似変換行列によるものであった。

そして、相似変換行列の積はやはり相似変換行列なので、これらの操作全体も、相似変換行列で表せる。

すなわち、すべての辺長がゼロでない三角形からの任意の裏返さない相似変換は、相似変換行列で表せる。

 

４．相似三角形の集合

というわけで、３つの互いに相似な があったとすると、下記の等式が成り立つような、 と、３つの相似変換行列 が存在する。もちろん各点の位置は、「１．点の位置の表現」で示した縦行列によって表す。

たとえば、 としては を、 としては単位行列を、 としては上記「３．裏返さない相似変換を表現する」の後半部で示した方法によって得られる相似変換行列を用いればよい。

さて、ここで新たな三角形を作ることを考える。

実数α、β、γで、α＋β＋γ＝１となるものを採る。

上記の９つの式の、１行目にαを、２行目にβを、３行目にγを掛けて縦に加える。

これらの左辺は、いずれも３点ずつの重み付き重心である。それぞれ としよう。右辺については、共通因子で括る。

は、相似変換行列に和が１になる実数を掛けて加えたものであるから、やはり相似変換行列となる。これをＭと書くことにしよう。

である。

したがって、 は、 と裏返さずに相似である。

このようにして、３つの互いに相似な三角形から、新たなこれらと相似な三角形が得られる。

 

５．ナポレオンの定理の証明

三角形ＡＢＣの各辺の上に、互いに相似な三角形を作ると、上記「４．相似三角形の集合」に示したことにより、これらと相似な新たな三角形を作ることができる。

ただし、「各辺の上に、互いに相似な三角形を作る」方法は、裏返らないという条件を課しても、１通りではない。

辺ＢＣの上に作る三角形を 辺ＣＡの上に作る三角形を 辺ＡＢの上に作る三角形を とする。

ここで、 ∽ ∽ となるようにする。

たとえば、 を決めたら、次に ∽ となるように、しかも裏返らないように を決める。

それには、 ＝ ＝ となるように、それぞれの角を決めればよい。そのような は２か所あるが、「裏返らない」という条件でその一方に決める。

も、同様に決められる。

こうして、上記「４．相似三角形の集合」の議論を適用できるようになる。

具体的には、 が となるので、下記の通り。

Ａ１＝Ａ’、

Ｂ１＝Ｂ、

Ｃ１＝Ｃ

Ａ２＝Ｃ、

Ｂ２＝Ａ、

Ｃ２＝Ｂ’

Ａ３＝Ｂ、

Ｂ３＝Ｃ’、

Ｃ３＝Ａ

そしてもし としては を」ということにすると、当然下記となる。

ここで重要なのは、縦の並びも、それぞれ同じ三角形になっているということである。

たとえば、１列目は であるが、これは１行目の と頂点の並び順を変えただけで、同じ三角形である。

ここで「頂点の並び順を変えた」ということを考慮して、上記の式の表の２行目と３行目を入れ替える。これにより、「縦の並びも、それぞれ同じ三角形」ということが一目瞭然となった。

Ａ１＝Ａ’、

Ｂ１＝Ｂ、

Ｃ１＝Ｃ

Ａ３＝Ｂ、

Ｂ３＝Ｃ’、

Ｃ３＝Ａ

Ａ２＝Ｃ、

Ｂ２＝Ａ、

Ｃ２＝Ｂ’

そして、「上記の９つの式の、１行目にαを、２行目にβを、３行目にγを掛けて縦に加える」としたとき、 は、 における、実数α、β、γに応じた「対応する点」となる。

特に、これらの相似三角形が正三角形で、 のときは、ナポレオンの定理となる。

定理１か定理１’かは、 をどちらにとるかの違いだけで、証明は同じである。

 

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上の図をクリック、あるいは緑色の点線三角形の角の赤○をドラッグしてみてください。

この赤○は、この図の一番下の三角形における位置を示しています。
緑色の点線三角形の他の角は、他の三角形における、同じ位置になります。

 

６．蛇足

の外接円は、必ず共有点を持つ。

これらが外側の正三角形の場合、この共有点は「フェルマー点」あるいは「フェルマー・トリチェリー点」と呼ばれる。内側の場合は「第２フェルマー点」と呼ばれる。

この共有点をＦと名づけることにする。

と の交点でＦでない方を とする。

と の交点でＦでない方を とする。

と の交点でＦでない方を とする。

ＡとＦが一致するときはどうするんだとか、 と が接するときはどうするんだとかは、とりあえず措くことにする。

このようにすると、 も、やはり相似となる。ただし、先ほどの三角形に対して裏返っているので、ここで示した論理を適用してもこの定理の証明はできない。実際、反例を作ることが可能である。

「先ほどの三角形」に対しては裏返っているが、全部裏返っているので、その結果として不思議おもしろ幾何学辞典の記述の条件「どれも裏返っていない」は満たしてしまっている。しかしその結論は正しくない。原文が不正確だったのか、誤訳なのかは不明である。

この場合も、外心を採用すれば、やはり相似三角形が得られる。

 

もう一つ蛇足を。

三角形の場合、頂点の位置を表す縦ベクトル３つを並べると３次の正方行列ができる。

この正方行列の行列式の絶対値は、この三角形の面積の２倍である。

この正方行列の行列式の正負の符号は、この三角形の「向き」を表す。つまり、２つの三角形について、裏返っていなければ同じ符号、裏返っていたら正負が異なる。

この正方行列に左から相似変換行列を左から掛けると、この三角形の各頂点にこの相似変換を行なったものが得られる。

相似変換を行った結果の行列式の値は、元の三角形についての行列式と相似変換行列の行列式を掛けたものになる。

そして、相似変換行列の行列式は負にならないという事実と、相似変換行列によって三角形は裏返らないという事実とが符合する。

また、「３．裏返さない相似変換を表現する」の中で述べた、「線分の長さが相似変換行列に固有な値（実は行列式の平方根）倍になる」とも符合する。

 

さらにもう一つ蛇足を（蛇っていくつ足があったっけ？というツッコミは受け付けません）。

平面における裏返らない相似変換は、２つの複素数を用いて表現することもできる。

相似変換行列の、ａ、ｂ、ｃ、ｄに対して、２つの複素数ａ＋ｂｉ、ｃ＋ｄｉを対応させる。点の位置については、（ｘ，ｙ）にｘ＋ｙｉを対応させる。

そうすると、点Ａの相似変換結果 を、

と表すことができる。

ここに、 ｉ、 ｚ１＝ｃ＋ｄｉ である。

この表現では、相似変換の合成がやはり相似変換であることを示すのは大変であるが、相似変換を特定するのに必要なパラメータの数が半分になるのは魅力である。もっとも、当然のことながら、自由度が減るわけではないが。

それは、たとえば次のような問題では、効果を発揮する。

問題：　点Ａを に、点Ｂを に移す裏返らない相似変換で点Ｃの移る先 を求めよ。

この問題は、２元１次連立方程式に帰着させることができる。具体的には、

を、 について解き、その結果、                             ｚ０＝Ａ’－Ａ×（Ａ’－Ｂ’）／（Ａ－Ｂ）」 に基づいて下記を計算すればばよい。

以上で蛇足を終えよう。蛇が百足にならないうちに。

 

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