【問３】【問４】は、ｎ＝１のときは完全に解けること
【問４】は、ｎ＞１という条件なので、ｎ＝１のときは考える必要は無い（強いて考えれば、１が解である：【問２】の説明参照）。
【問３】
【解】ｋの最大値は（Ｄ＋１）である。
Ｄ＝１のときは、すでに証明されている（「【問３】【問４】は、Ｄ＝１のときは完全に解けること」参照）。
Ｄ＝２、すなわち正三角形のときを、まず示す。
正三角形の各頂点に配置した場合のみが、題意（互いの距離が１以上）を実現することを示す（実は、Ｄ＞２のときも、正三角錐の各頂点に配置した場合のみが、題意を実現する）。
そのためには、①閉正三角形内の任意の２点間の距離が１以下であること、②そのうち少なくとも１点が頂点でないとき２点間の距離は１未満であることを示せばよい。
場合分けして考える。
ａ：２点とも頂点
ｂ：１点は頂点、もう１点は隣辺
ｃ：１点は頂点、もう１点は対辺
ｄ：１点は頂点、もう１点は内部
ｅ：２点とも頂点でないが、２点を結ぶ直線はある頂点を通る
ｆ：２点を結ぶ直線は、どの頂点も通らない
これで、すべての場合を尽くしている。
ａ：２点とも頂点
①②とも明らか。
ｂ：１点は頂点、もう１点は隣辺
これも、①②とも明らか。
これも明らかだが、ここでそう言ってしまうと、このページを作った甲斐が無いので、少し説明する。
上図で、ＢＨ＜ＡＢを言えば、①②が言えたことになる。
△ＨＢＣで、∠ＡＨＢは、∠Ｈの外角であるから、∠Ｃより大きい。
△ＡＢＣは正三角形であるから、∠Ｃ＝∠Ａ。したがって、∠ＡＨＢは∠Ａより大きい。
△ＡＢＨで、∠Ｈは∠Ａより大きいので、それぞれの対辺ＡＢとＢＨを比べると、ＡＢ＞ＢＨ。
＊
この議論では、△ＡＢＣが正三角形であることは、∠Ｃ＝∠Ａとしか使っていない。
したがって、△ＡＢＣが二等辺三角形でありさえすれば、ＡＢ＞ＢＨは言える。
さらに、∠Ｃ＝∠Ａも、「∠ＡＨＢは∠Ａより大きい」を言うためだけに使っている。
∠Ｃ≧∠Ａならばこれは言える、言い直すとＡＢ≧ＢＣならば言えるので、次のように言うこともできる。
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三角形のある頂点と、その対辺上の点との距離は、この頂点の隣辺の短くない方より真に短い。 |
下図のように補助線を引けば、上記ｃにより、ＢＨ＜１。また、ＢＰ＜ＢＨであるから、ＢＰ＜１。
下図のように補助線を引けば、上記ｃにより、ＢＨ＜１。また、ＰＱ＜ＢＨであるから、ＰＱ＜１。
なお、このケースは、２点がある１辺上にある場合も含むが、その場合は上図のＨ点をＣ点にすればよい。
ｆ：２点を結ぶ直線は、どの頂点も通らない
下図のように補助線を引く。
上記ｄにより、ＡＰ＜１、ＢＰ＜１が言える。
△ＡＰＢについて、上記ｃの付記事項を適用すると、ＨＰ＜（ＡＰとＢＰの短くない方）＜１。
Ｑ≠Ｈのときは、さらにＰＱ＜ＨＰなので、ＰＱ＜１。
これで、Ｄ＝２のときの、すべてのケースで①②が言えた。
＊
ここまでの議論をつぶさに見ると、必ずしも正三角形である必要の無い部分もある。
そこで、元の三角形を必ずしも正三角形でないものとして、同様の議論を行って、次のことが言えることが分かる。
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閉三角形の任意の２点間の距離は、その閉三角形の最長辺以下であり、最長辺と一致するのは、この２点が最長辺の両端点のときである。 |
Ｄ≧３のときも、正三角錐の各頂点に配置した場合のみが題意を満たすことを示す。
Ｄ＝１、２で言えているので、「Ｄ≦ｋで言えれば、Ｄ＝ｋ＋１でも言える」が言えれば良い。
Ｄ＝ｋ＋１のとき、Ｄ＝２のときと同様な場合分けを行う。
ａ：２点とも頂点
ｂ：１点は頂点、もう１点は隣面
ｃ：１点は頂点、もう１点は対面
ｄ：１点は頂点、もう１点は内部
ｅ：２点とも頂点でないが、２点を結ぶ直線はある頂点を通る
ｆ：２点を結ぶ直線は、どの頂点も通らない
ａ：２点とも頂点
明らか。
ｂ：１点は頂点、もう１点は隣面
Ｄ＝ｋのとき①②が成り立つので、成り立つ。
ｃ：１点は頂点、もう１点は対面
この2点と、この頂点とは異なる１頂点とで決まる超平面で切った切り口の三角形について、Ｄ＝２のところに書いた付記事項を適用すればよい。
ｄ：１点は頂点、もう１点は内部
Ｄ＝２のときのｃに準じて考えればよい。
ｅ：２点とも頂点でないが、２点を結ぶ直線はある頂点を通る
この直線と、この直線上に無い１頂点とで決まる超平面で切った切り口について、Ｄ＝２のときのｅに準じて考えればよい。
ｆ：２点を結ぶ直線は、どの頂点も通らない
この直線と、ある１頂点とで決まる超平面で切った切り口について、Ｄ＝２のときのｆに準じて考えればよい。
以上で、すべてのＤについて、言えたことになる。
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